Analiza matematyczna I

Mateusz Maciejewski, Oct 8, 2015

Table of Contents

  1. obrazy i przeciwobrazy funkcji
    1. obraz 0
    2. przeciwobraz 0
    3. obraz
    4. przeciwobraz
  2. inne
    1. Kreślenie wykresów funkcji
    2. Ciąg określony rekurencyjnie
  3. Definicja granicy ciągu
    1. granica ciągu 1
    2. granica ciągu 2
    3. granica ciągu 3
    4. ciąg definiujący liczbę e
    5. ciągi rozbieżne
    6. ciąg rozbieżny - wyjaśnienie
  4. Oszacowanie funkcji wykładniczej i logarytmicznej
    1. exp(x) i 1+x
    2. oszacowanie exp(x)
    3. oszacowanie ln(x)
  5. Podciągi
    1. pojęcie podciągu
    2. ciąg sklejony z dwóch podciągów
    3. Ciąg (-1)^n
    4. Ciąg mantysa
    5. Ciąg sinus n pi/2
    6. Inna definicja punktu zbieżności
    7. ciągi o dużej liczbie punktów zbieżności
    8. zbiór punktów zbieżności to zbiór N

1.

obrazy i przeciwobrazy funkcji

  • 1. obraz 0
  • 2. przeciwobraz 0
  • 3. obraz
  • 4. przeciwobraz

1.1.

obraz 0

Przesuwaj punkty, będące końcami niebieskiego odcinka na osi X. Zobacz, jak zmienia się obraz tego odcinka poprzez funkcję kwadratową f (czerwony odcinek na osi Y).
– Mateusz Maciejewski

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

inne

  • 1. Kreślenie wykresów funkcji
  • 2. Ciąg określony rekurencyjnie

2.1.

Kreślenie wykresów funkcji

Karta ta pokazuje przykładową metodą wykreślenia wykresu funkcji [math]f(x)=-\left(\left|(|x|-3)^2-2\right|+2\right)[/math]. W zamyśle jest przeznaczona jako baza do tworzenia innych tego typu kart pracy.
– Mateusz Maciejewski

2.2.

–

3.

Definicja granicy ciągu

  • 1. granica ciągu 1
  • 2. granica ciągu 2
  • 3. granica ciągu 3
  • 4. ciąg definiujący liczbę e
  • 5. ciągi rozbieżne
  • 6. ciąg rozbieżny - wyjaśnienie

3.1.

granica ciągu 1

Materiał przybliża pojęcie granicy ciągu. Wprowadza się pojęcie [b]paska epsilonowego[/b]. Jest to pas o grubości [math]2\varepsilon[/math] na płaszczyźnie wzdłuż prostej y=a, gdzie a to granica ciągu (a_n). Jest to więc zbiór punktów spełniających nierówności [math]a-\varepsilon<y<a+\varepsilon[/math]. Ciąg (a_n) jest zbieżny do a wtedy i tylko wtedy, gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu są w przedziale [math](a-\varepsilon,a+\varepsilon)[/math]. Geometrycznie można to wyrazić w układzie współrzędnych: ciąg (a_n) jest zbieżny do a wtedy i tylko wtedy, gdy prawie wszystkie wyrazy wykresu ciągu są w pasku epsilonowym. Uwaga: wykres ciągu to zbiór [math]\{(n,a_n)\mid n\in\mathbb{N}\}[/math]. Zmieniaj wartość [math]\varepsilon[/math], aby zmienić szerokość paska epsilonowego. Zobacz, jak zmienia się wartość n_0, począwszy od którego wszystkie punkty wykresu leżą na pasku epsilonowym.
– Mateusz Maciejewski

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

4.

Oszacowanie funkcji wykładniczej i logarytmicznej

  • 1. exp(x) i 1+x
  • 2. oszacowanie exp(x)
  • 3. oszacowanie ln(x)

4.1.

exp(x) i 1+x
– Mateusz Maciejewski

4.2.

–

4.3.

–

5.

Podciągi

  • 1. pojęcie podciągu
  • 2. ciąg sklejony z dwóch podciągów
  • 3. Ciąg (-1)^n
  • 4. Ciąg mantysa
  • 5. Ciąg sinus n pi/2
  • 6. Inna definicja punktu zbieżności
  • 7. ciągi o dużej liczbie punktów zbieżności
  • 8. zbiór punktów zbieżności to zbiór N

5.1.

pojęcie podciągu

Materiał przybliża pojęcie podciągu. Dany jest ciąg (a_n). Zielonymi kropkami zaznaczony jest jego wykres. [list] [*]Podaj wartość n-tego wyrazu rosnącego ciągu liczb naturalnych (k_n). Na osi OX pomarańczowym kolorem zaznaczone zostaną kolejne elementy ciągu (k_n). Pierwotnie wartość k_n jest zdefiniowana jako 3n, a zatem jest to ciąg kolejnych liczb podzielnych przez 3 (wyrazy różnią się o 3). [*]Zaznacz pierwszą kratkę, aby zaznaczyć (fioletową obwódką) wyrazy ciągu (a_n) odpowiadające indeksom (k_n). [*]Zaznacz drugą kratkę, aby wyświetlić podciąg (a_{n_k}). Ciąg ten powstaje z ciągu (a_n) poprzez wybranie pewnych elementów; mianowicie elementów zaznaczonych na fioletowo o indeksach (k_n) zaznaczonych na pomarańczowo. Pierwszym elementem tego ciągu jest pierwszy zaznaczony fioletową obwódką punkt. Drugim - drugi tak zaznaczony element, itd. [*]Zaznacz trzecią kratkę, aby zobaczyć, którym punktom z wykresu ciągu (a_n) zaznaczonym na fioletowo odpowiada który element na wykresie podciągu. Zmieniaj wartość i, aby połączyć punkt (i,a_{k_i}) z (k_i,a_{k_i}). [/list]
– Mateusz Maciejewski

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

Information