[b][color=#0000ff][size=150][table][tr][td][b][color=#0000ff][size=150]x[sub]1[/sub] = 8[br]x[sub]2[/sub] = 4[br]x[sub]n[/sub] = x[sub]n-1[/sub][sup][size=100][size=85]2[/size][/size][/sup][sub] [/sub]/ x[sub]n-2[/sub] , (n = 3, 4, 5, ...) [code][/code][/size][/color][/b][/td][/tr][/table][/size][/color][/b]
[i][size=150]Berechne die Glieder x[sub]3[/sub] bis x[sub]7[/sub].[/size][/i]
[b]Anleitung:[/b][br]x[sub]3[/sub] = x[sub]2[/sub][size=85][sub][/sub][sup]2[/sup][/size][sup][size=85][/size][/sup] / x[sub]1[/sub] = 4[size=85][sup]2[/sup][/size][sup][/sup] / 8 = 2[br]x[sub]4[/sub] = x[sub]3[/sub][size=85][sub][/sub][sup]2[/sup][/size][sup][/sup] / x[sub]2[/sub] = ...[br][i]Kontrolliere die Ergebnisse mit Geogebra.[/i]
[i]Um was für eine Art von Folge handelt es sich?[/i]
Um eine [b]geometrische[/b] Folge.
[i]Gib eine Termdarstellung für x[sub]n[/sub] an.[/i]
[b]x[sub]n[/sub] = 8 * (1/2)[sup]n-1[/sup] = 16 / 2[sup]n[/sup][/b]
Um zu beweisen, dass die Termdarstellung richtig ist, muss man zeigen, dass sie[br]a) die [b]Anfangswerte[/b] (x[sub]1[/sub] und x[sub]2[/sub]) liefert[sub] [/sub]und[br]b) die [b]Rekursionsgleichung[/b] erfüllt.[br][br][i]Führe den Beweis durch.[/i]
[table][tr][td]a) [br][/td][td]n = 1: [/td][td]x[sub]1[/sub] = 16 / 2[sup]1[/sup] = 8 [math]\sqrt{ }[/math][/td][/tr][tr][td][/td][td]n = 2: [/td][td]x[sub]2[/sub] = 16 / 2[sup]2[/sup] = 4 [math]\sqrt{ }[/math][/td][/tr][/table][br][table][tr][td]b) [/td][td]x[sub]n-1[/sub][sup]2[/sup] / x[sub]n-2[/sub][/td][td]= (16/2[sup]n-1[/sup])[sup]2[/sup] / (16/2[sup]n-2[/sup])[/td][td][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][td]= (16[sup]2[/sup] / 16) / (2[sup]2n-2 [/sup]/ 2[sup]n-2[/sup]) = 16 / 2[sup]n[/sup][/td][td]= x[sub]n[/sub] [math]\sqrt{ }[/math][/td][/tr][/table][br]
[i]Führe die obigen Aufgaben mit folgenden Anfangswerten aus:[br][/i]a) x[sub]1[/sub] = 1; x[sub]2[/sub] = -1,5[br]b) x[sub]1[/sub] = a; x[sub]2[/sub] = b