Legyen három, egymástól különböző pont [i]A, B[/i] és [i]C.[/i][br]Szerkesszünk három, egymást páronként érintő kört (ciklust), amelyek érintési pontjai A, B és C!

[list][*][b][color=#9900ff]Ha két kör érinti egymást, akkor az érintési pontjuk illeszkedik a két kör középpontját összekötő egyenesre ([i]a két kör centrálisára[/i]). és erre merőleges a két kör közös pontjába húzott érintő.[/color][br][/b][/*][/list][br]Ez a megállapítás egyaránt érvényes az euklideszi, a hiperbolikus és a gömbi geometriában is. [br]Ezt fogjuk kihasználni.

Általános esetben - ha [i]A, B, C [/i]egy kör három általános helyzetű pontja - e körnek az A, B, C pontokhoz tartozó érintőinek a metszéspontjai lesznek a keresett körök középpontjai. [br][br]Speciális esetben, ha a három pontra illeszkedő körnek valamely két pontja e kör szemközti pontpárja, akkor az ezekre illeszkedő kör egyenessé fajul. (Erről szólt az [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/VT2ARzW5]előző[/url] feladat.)[br][br]Még speciálisabb eset, ha [i]A, B, C[/i] egy egyenesre illeszkedik. Ekkor a keresett körök az [i]AB , BC , CA [/i]szakaszokhoz, mint átmérőkhöz tartozó körök lesznek.

[list=1][*]A fenti megfogalmazásban szándékosan kerültük a Thalész tétel említését. Ugyanis (itt és most) magától érthetődő kérdés, hogy ugyanez a feladat miként tükröződik a P-modellen, illetve a gömbi geometriában, ahol - mint tudjuk - nem érvényes Thalész tétele.[br][br][/*][*]Nem tartozik szorosan a témához, de figyelmesebb olvasóinknak feltűnhetett, hogy a fenti appletben körlapokat rajzoltunk, amelyek közül a legnagyobb (amely bármelyik lehet) soha nem takarja el a másik kettőt. Kíváncsibb olvasóink az applet forrásfájljának a tanulmányozásával könnyen elsajátíthatják az alkalmazott "trükköt".[/*][/list]

Itt jóval összetettebbé válik a feladat, tekintettel arra, hogy [br][list][*][b][color=#ff0000]a hiperbolikus geometriában három pontra kör, egyenes, paraciklus, vagy hiperciklus illeszkedhet. [/color][/b][br][/*][/list]Maga a szerkesztés eredménye is három [color=#ff0000]ciklus,[/color] amely ugyancsak lehet [color=#ff0000]kör, egyenes, paraciklus vagy hiperciklus.[/color][br][br]A P modell három pontja által meghatározott három, páronként érintkező ciklus az euklideszi síkon (a GeoGebra koordinátarendszerében) háromm kör, ezeknek a P-modell alapkörével alkotott kapcsolatától függ a ciklus jellege.[br][br]Emiatt nem a szokott módon - kizárólag a P-modell eszköztárával - oldottuk meg a feladatot, hanem lényegében az euklideszi szerkesztést egészítettük ki egy új saját eljárással, amely e kapcsolatok szöveges és rajzi kiértékelését végzi.[br][br]Érdeklődőbb olvasóink a forrásfájlt letöltve megismerkedhetnek az alkalmazott "fogásokkal".

A feladat megoldása alig tér el az előzőktől. A speciális esetek felvételénél kellett attól eltérő szerkesztési lépéseket alkalmazni. Itt is javasoljuk olvasóinknak az applet forrásfájljának az elemzését.