A [b][color=#ff0000]Thalész-tétel[/color][/b] a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Geometria]geometria[/url] egyik legkorábbi eredetű tétele. Nevét a milétoszi [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Thal%C3%A9sz]Thalészról[/url] kapta.[b]Tétel[/b] ([i]Thalész[/i]) Ha egy [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6r_(geometria)]kör[/url] átmérőjének [i]A[/i] és [i]B[/i] végpontját összekötjük a körív [i]A[/i]-tól és [i]B[/i]-től különböző tetszőleges [i]C[/i] pontjával, akkor az [i]ABC[/i] [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/H%C3%A1romsz%C3%B6g]háromszög[/url] [i]C[/i]-nél lévő [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%B6g]szöge[/url] [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Der%C3%A9ksz%C3%B6g]derékszög[/url] lesz.

[color=#ff0000][b][i][u]A háromszögek szögösszegtétele alapján[/u][/i][/b][/color][br][br]Azt fogjuk felhasználni, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°.[br]Legyen [i]O[/i] a kör középpontja. Ekkor az [i]AOC[/i] és a [i]COB[/i] háromszög egyenlő szárú, azazα = α' ésβ = β'.[br]Az [i]OC[/i] szakasz pont az α' és β' részekre osztja γ-t , így[br]γ = α' + β' = α+β[br]Az [i]ABC[/i] háromszög belső szögeinek összege (ami a szögösszegtétel szerint 180°) épp e négy szög összege, tehát:α + β + γ = α + β + (α' + β') = α + β + (α + β) = 180°;[br]vagyis:2α+2β = 180°2(α+β) = 180°α+β = 90°így:γ = α + β = 90°

[color=#ff0000][b][i][color=#ff0000][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Eukleid%C3%A9sz_(matematikus)]Eukleidész[/url] [/color]bizonyítása[/i][/b][/color][br][br]Azt kell belátnunk, hogy az ábrán a γ szög hegyesszög vagy derékszög.[br]Hosszabbítsuk meg az [i]AC[/i] szakaszt [i]C[/i]-n túl egy tetszőleges [i]F[/i] pontig. [br]Legyen [i]O[/i] a kör középpontja. Mivel [i]AO[/i] és [i]OC[/i] a kör sugara, ezért az [i]AOC[/i] háromszög egyenlő szárú, ígyα = α'.[br]Továbbá, mivel [i]OB[/i] is a kör sugara ezért az [i]OBC[/i] háromszög is egyenlő szárú, ígyβ = β'.[br]Mivelγ = α' + β',ezért az előbbiek miattγ = α + βis teljesül. [br]Viszont a [url=https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=K%C3%BCls%C5%91sz%C3%B6g-t%C3%A9tel&action=edit&redlink=1]külsőszög-tétel[/url] miatt az [i]ABC[/i] háromszög γ' külső szöge egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével, azazγ' = α + βvagyisγ = γ'amiből az következik, hogy γ fele az egyenesszögnek, tehát [i]C[/i]-nél derékszög van.

[color=#ff0000][u][i][b]Egy elemi geometriai bizonyítás szimmetriatulajdonságokkal[br][/b][/i][/u][/color][br]Rajzoljuk be az [i]O[/i] középpontot és hosszabbítsuk meg a [i]CO[/i] szakaszt [i]O[/i]-n túl a kör ívéig, amit metsszen a [i]D[/i] pontban.[br]Azt kell belátnunk, hogy a [i]C[/i]-nél lévő szög derékszög.[br]Tudjuk, hogy egy négyszög akkor és csak akkor téglalap, ha átlói felezik egymást és egyenlő hosszúságúak. De az [i]ADBC[/i] négyszög átlói egyenlők (mert mindkettő a kör átmérője) és felezik egymást (az [i]O[/i]pontban), így az [i]ADBC[/i] négyszög téglalap.[br] Ebből viszont következik, hogy minden szöge, így a C-nél lévő szög is derékszög.[br][b]Megjegyzés.[/b] [br]Természetesen a szimmetriát itt az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés jelenti.

[u][i][b][color=#ff0000]A Pitagorasz-tételből és megflordításából[/color][/b][/i][/u][br][br]Legyen a [i]k[/i] kör egy átmérője [i]d[/i], középpontja [i]O[/i]. Vegyünk föl a kör ívén egy, az átmérő két végpontjától[br]különböző [i]C[/i] pontot és bocsássunk merőlegest [i]C[/i]-ből [i]d[/i]-re. Legyen a merőleges talppontja [i]T[/i].[br]Az [i]OTC[/i]derékszögű háromszög oldalait jelöljük így:[br]r = OC (a kör sugara)m = TC (az [i]ABC[/i] háromszög [i]C[/i]-ből kiinduló magassága)x = OTTovábbáa = BC ésb = AC[br]Ekkor az [i]OTC[/i], [i]ATC[/i] és [i]CTB[/i] derékszögű háromszögekre rendre felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:x[sup]2[/sup] + m[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup](r + x)[sup]2[/sup] + m[sup]2[/sup] = b[sup]2[/sup](r – x)[sup]2[/sup] + m[sup]2[/sup] = a[sup]2[br][/sup]Azt fogjuk belátni, hogy az ABC háromszög olyan, hogy két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik négyzetével ( a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] = d[sup]2[/sup] ).[br] A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint ugyanis ekkor [i]ABC[/i]derékszögű háromszög (és a derékszög a [i]d[/i]-vel szemközt van).a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] = (r – x)[sup]2[/sup] + m[sup]2[/sup] + (r + x)[sup]2[/sup] + m[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] -2rx + x[sup]2[/sup] + m[sup]2[/sup] + r[sup]2[/sup] + 2rx + x[sup]2[/sup] + m[sup]2[/sup] = 2r[sup]2[/sup] + 2x[sup]2[/sup] + 2m[sup]2[/sup] = 2r[sup]2[/sup] + 2(x[sup]2[/sup] + m[sup]2[/sup]) = 2r[sup]2[/sup] + 2r[sup]2[/sup] = 4r[sup]2[/sup] = (2r)[sup]2[/sup] = d[sup]2[/sup]Tehát a [i]C[/i]-nél lévő szög derékszög[br].[b]Megjegyzés.[/b] Az O = T esetben a tétel triviális módon igaz, hiszen ekkor az AOC és az OBC háromszögek egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Ekkor tehát γ = 45° + 45° = 90°.