Egy háromszög [i][b][color=#9900ff]defektusának[/color][/b][/i] nevezzük a háromszög szögösszegének az egyenesszögtől való eltérését.[br][list][*][color=#0000ff][b]Az euklideszi geometriában bármely háromszög defektusa nulla.[/b][/color][/*][/list]Legyen adott az ABC háromszög. Szerkesszük meg a defektusát. Mutassuk meg, hogy a háromszög szögeinek az összege kisebb az egyenesszögnél, így: [br][list][*][b][color=#ff0000]a hiperbolikus geometriában bármely háromszög defektusa pozitív.[/color][/b][/*][/list]

Tükrözzük az ABC Δ α =CAB∢ szögét előbb a b=CA oldalra, majd a CA pontokhoz tartozó szakaszfelező merőlegesre. Az így kapott α' =ACB[sub]2[/sub]∢ egybevágó α -val, egyik száruk közös, és ellentétes irányú, a másik száruk viszont [u]ultrapárhuzamos[/u] egyenespárt alkot. Ezért most mellőzzük az α és α' szögpárra az euklideszi geometriában használatos váltószögek elnevezést. [br] [br]Ugyanilyen szerkesztéssel illesszük a β =CAB∢ -et is a γ =ACB∢ mellé.[br][br]Kísérletképpen vegyük a háromszöget egyre kisebbnek az alapkör sugarához képest (Persze zoomolással elérhető, hogy a képernyőhöz képest ne lássunk kisebbnek.) Az így kapott háromszög defektusa egyre közelebb lesz a 0-hoz, maga a rajz pedig egyre jobban megközelíti az euklideszi geometriából jól ismert ábrát.

A fenti szerkesztéshez lényegében a P-modell eljárásainak az első (abszolut geomeriai) eljárásait használtuk, a [b] Hszög[ ][/b] eljárásra csak a szögek kijelöléséhez volt szükségünk. (Bár ezzel előállítottuk a szögek mérőszámait is.)[br][br]Anélkül, hogy ezt szemléltetnünk kellene, könnyen tudnánk igazolni, hogy [br][list][*][b][color=#9900ff]ha egy háromszöget az egyik csúcsára illeszkedő egyenessel másik két háromszögre bontunk, akkor a két keletkező háromszög defektusa egyenlő az eredeti háromszög defektusával. [/color][/b][br][/*][/list]Ebből az is következik, hogy ha két háromszög közül az egyik -valódi részként - tartalmazza másikat, akkor a tartalmazott háromszög defektusa kisebb a tartalmazó háromszög defektusánál.[br][br]Ez a megállapítás ad lehetőséget arra, hogy:[br][list][*] [b][color=#ff0000]a hiperbolikus geometriában a háromszög [i]területét[/i] a háromszög defektusával mérhetjük.[br] [br][/color][/b][/*][/list]Annak[color=#333333] az aszimptotikus háromszögnek, amelynek mindhárom csúcsa végtelen távoli pont - így mindhárom szöge 0 mértékű - a defektusa az egyenes szög. Emiatt:[br][/color][list][*][b][color=#ff0000]A hiperbolikus síkban van legnagyobb területű háromszög. [/color][/b][color=#333333][br][/color][/*][/list][br]Ez egyben azt is jelenti, hogy [color=#9900ff][u]ha[/u] van 0 defektusú háromszög, akkor bármely háromszög defektusa 0[/color]. Ezért ezek a kijelentések:[br][list][*] [b][color=#0000ff]van olyan háromszög, amelynek a szögösszege az egyenesszög;[/color][/b][/*][*][b][color=#0000ff]bármely háromszögnél van nagyobb területű háromszög. [/color][/b][br][/*][/list]egyenértékűek (ekvivalensek) az euklideszi párhuzamossági axiómával.