Trovare l'equazione di una [b]parabola passante per tre punti[/b] è un problema concettualmente banale (basta infatti risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite) ma può diventare un vero incubo dal punto di vista algebrico (visto che il suddetto sistema di equazioni può risultare lungo e tedioso da risolvere). [br][br]Per nostra fortuna, i [i]calcolatori[/i] (computer, tablet, smartphone, calcolatrici specifiche, etc) sono molto bravi nel risolvere lunghi e tediosi calcoli in un battito di ciglia, se vengono ben preparati a farlo. In questa attività impareremo dunque a fare proprio questo: creare un file geogebra che sia in grado di calcolare l'equazione di una parabola, dati tre punti qualsiasi di essa.[br][br]Se la vostra domanda a questo punto è "[i]perché dovrei creare un file quando ne vedo uno già pronto proprio qua sotto?[/i]" la risposta è molto semplice: durante la creazione del file vi spiegheremo il significato di quello che state scrivendo, così che alla fine del progetto voi sarete in grado di ripetere una costruzione di questo tipo per qualsiasi altro problema vi possa servire! Ad esempio sarà molto semplice modificare il file (o crearne uno da capo) perché trovi l'equazione di una circonferenza che passi per tre punti, così come un'ellisse o un'iperbole. Non solo, una volta compreso il metodo potrete creare anche un file in grado di calcolare l'equazione di un'ellisse dato un fuoco e i due assi, oppure di una parabola dato vertice e direttrice, o tanto altro ancora.[br][br]Insomma, comprendete il metodo e sarete in grado di trovare l'equazione di una curva qualsiasi, dati i giusti dati di partenza. Un vero portento![br][br]Per fare tutto questo, iniziate con l'osservare e sperimentare il foglio di calcolo inserito di seguito. Quando siete pronti proseguite nella lettura e seguite la guida sottostante per creare lo stesso file anche voi.[br][br][i][b]Nota[/b]: il metodo di calcolo usato in questo foglio sfrutta la capacità di GeoGebra di eseguire calcoli CAS (Computer Algebra System), ovvero la possibilità di eseguire calcoli simbolici (algebrici). Anche alcune calcolatrici sono in grado di fare questo tipo di calcoli, e difatti vengono chiamate "calcolatrici CAS".[/i]

Formalizziamo il problema da risolvere.[br][br][b][color=#ff0000]Problema[/color][/b]: [color=#0000ff]dati tre punti, trovare la parabola passante per essi. [br]Ovvero, determinare [i]a,b,c[/i] in modo che la parabola [/color][math]y=ax^2+bx+c[/math][color=#0000ff] passi per tre punti dati.[br][/color][list=1][*]Iniziamo col creare un file geogebra con tre punti qualsiasi A, B e C.[/*][*]Cliccate adesso il tasto menù (le tre linee in alto a destra) e cliccate su "Visualizza" per poi selezionare la casella "CAS".[/*][*]Dopo aver selezionato la casella CAS dovrebbe aprirsi sulla sinistra un nuovo spazio in cui scrivere, tra lo spazio Algebra (dove vedete le coordinate dei punti) e il piano cartesiano.[/*][*]Chiudete il menù e spostatevi nella tab CAS che si è appena aperta.[/*][*]Cliccate nella prima riga (dovrebbe esserci un "1") e scrivete l'espressione[i][br][center][i]y(A)=a (x(A))^2 + b x(A) + c[/i][/center][/i][b][color=#ff0000]Attenzione[/color][/b] a rispettate la spaziatura! Dopo le lettere "a" e "b" ci deve essere uno spazio per far capire a GeoGebra che deve eseguire una moltiplicazione.[br][br][color=#9900ff][b]Spiegazione[/b]: [br] - [b]y(A)[/b] indica la coordinata y del punto A.[br] - [b]x(A)[/b] indica la coordinata x del punto A.[br] - l'equazione appena scritta rispecchia quindi il fatto che la parabola [/color][math]y=ax^2+bx+c[/math][color=#9900ff] (di cui stiamo appunto cercando i coefficienti [i]a,b,c[/i]) deve passare per il punto A.[br][/color][br][/*][*]Cliccate nella seconda riga (dovrebbe essersi creata una riga con scritto "2" appena avete inserito l'equazione di prima nella riga 1) e scrivete l'espressione[i][br][center][i]y(B)=a (x(B))^2 + b x(B) + c[/i][/center][/i][color=#9900ff][b]Spiegazione[/b]:[br] - [b]x(B)[/b] e [b]y(B)[/b] indicano le coordinate x e y del punto B.[br] - l'equazione quindi indica che la parabola deve passare per il punto B.[br][/color][br][/*][*]Ciccate nella terza riga e scrivete l'espressione[i][br][center][i]y(C)=a (x(C))^2 + b x(C) + c[/i][/center][/i][color=#9900ff][b]Spiegazione[/b]:[br] - [b]x(C)[/b] e [b]y(C)[/b] indicano le coordinate x e y del punto C.[br] - dunque la parabola deve passare anche per il punto C.[br][/color][br][/*][*]Cliccate nella quarta riga e scrivete[br][i][center][i]Soluzioni({$1, $2, $3}, {a, b, c})[/i][/center][/i][color=#ff0000][b]Attenzione[/b] [/color]a scrivere tutte le parentesi![br][br][color=#9900ff][b]Spiegazione[/b]: l'istruzione dice a GeoGebra di risolvere il sistema formato dalle equazioni nelle righe 1,2,3 (il simbolo "$" richiama il numero di riga) rispetto alle incognite a,b,c.[br][/color][br][/*][*]L'istruzione appena scritta fornisce tutte le terne (a,b,c) che risolvono il sistema di tre equazioni impostato nelle prime tre righe. Poiché un sistema di tre equazioni in tre incognite ha un'unica soluzione (o nessuna), la lista di soluzioni ne ha solo una (osservate che la "ListaPunti" è formata da un solo elemento).[/*][*]Dobbiamo quindi selezionare la prima soluzione (nel nostro caso è anche l'unica) col comando[i][br][center][i]Elemento($4,1)[/i][/center][/i][color=#9900ff][b]Spiegazione[/b]: l'istruzione prende il primo elemento della riga 4 (il simbolo "$" richiama il numero di riga). Nel caso il sistema avesse più soluzioni, in questo modo ne selezioneremo solo la prima.[br][/color][br][/*][*]Quello che abbiamo adesso nella riga 5 è un punto con tre coordinate in cui sono inseriti i valori di a,b,c che risolvono il sistema. Ovvero, i coefficienti che stavamo cercando! Non ci resta che scrivere l'equazione della parabola nella riga 6 con l'istruzione[br][center][i]x($5) x^2 + y($5) x + z($5)[/i][/center][color=#9900ff][b]Spiegazione[/b]: [br] - [b]x($5)[/b] indica la coordinata x del punto in riga 5 (ovvero il coefficiente "a" che cercavamo).[br] - [b]y[/b][b]($5)[/b] indica la coordinata y del punto in riga 5 (ovvero il coefficiente "b" che cercavamo).[br] - [b]z[/b][b]($5)[/b] indica la coordinata z del punto in riga 5 (ovvero il coefficiente "c" che cercavamo).[br] - abbiamo inserito questi tre al posto di a,b,c nell'equazione della parabola [/color][math]ax^2+bx+c[/math][color=#9900ff].[br][/color][br][/*][*]La parabola è trovata! Adesso basta cliccare il [b][color=#38761d]pallino a sinistra[/color][/b] della riga 6, e la parabola si renderà visibile nel piano cartesiano.[/*][/list]

[b]Riassumiamo le istruzioni[/b] che abbiamo utilizzato, per assicurarci di averne compreso l'uso in generale.[br][list][*][b]$n[/b] se [i]n[/i] è un numero, si riferisce al risultato della riga CAS numero [i]n[/i].[/*][*][b]x(P)[/b] se P è un punto, fornisce la prima coordinata del punto.[/*][*][b]y[/b][b](P)[/b] se P è un punto, fornisce la seconda coordinata del punto.[/*][*][b]z[/b][b](P)[/b] se P è un punto, fornisce la terza coordinata del punto (valido solo per punti tridimensionali).[/*][*][b]Soluzioni( {$1,$2,$3,$4...} , {a,b,c,d...} )[/b] fornisce tutte le possibili soluzioni del sistema formato dalle equazioni inserite nelle righe indicate nella prima parentesi graffa (righe 1,2,3,4,etc...) rispetto alle variabili indicate nella seconda parentesi (lettere a,b,c,d,etc...).[/*][*][b]Elemento($n,k)[/b] fornisce l'elemento numero [i]k[/i] della lista generata nella riga numero [i]n[/i].[/*][/list]