O objetivo dessa apresentação é descobrir como calcular a distância entre ponto genérico [color=#0000ff]A[/color] e uma reta qualquer [color=#ff0000]r [/color][b]no plano cartesiano[/b], que chamaremos de D([color=#0000ff]A[/color],[color=#ff0000]r[/color]).Vale lembrar que quando falamos de distância entre ponto e reta nos referimos à MENOR distancia entre elas.

A demonstração de como é calculada a distância entre uma reta e um ponto é basicamente a mesma da apresentada no caso geral que é a do espaço, que foi demonstrada na apresentação anterior. [b]Porém[/b], por se tratar de elementos no plano cartesiano [b]tem como simplificar[/b] ainda mais a fórmula final, o que deixa a resolução desse tipo de exercício mais fácil.[br][br]

Sabe-se que [br]D([color=#0b5394]A[/color],[color=#ff0000]r[/color])= Distância do ponto [color=#0000ff]A[/color] à reta [color=#ff0000]r[/color][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D[/img]=vetor PA[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]=vetor diretor da reta[br]Área do paralelogramo(por meio de produto vetorial): ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D[/img] X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]||[br]Área do paralelogramo(pela fórmula): ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]|| * h[br]Assim, já que ambas as áreas tratam do mesmo paralelogramo, é possível relacioná-las:[br] ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D[/img] X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]|| = ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]|| * h[br]Finalmente: h=D([color=#0b5394]A[/color],[color=#ff0000]r[/color])= ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D[/img] X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]|| / ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]|| = ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BPA%7D[/img] X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]|| / ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]|| [br][br]Essa é a equação geral que vale tanto para o espaço, quanto para o plano, mas por se tratar de uma dimensão mais simples é possível dar uma nova cara à essa fórmula. [br][br][b]Equação cartesiana da reta[/b] [color=#ff0000]r[/color] : [b][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a*x_%7B1%7D%20+%20b*y_%7B1%7D%20+%20c*z_%7B1%7D%5Cright%20%7C[/img]=0[/b][br][b]Ponto A[/b]=[b][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbf%7B%28x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D%29%7D[/img][br][/b][br]Por meio de algumas operações matemáticas, [b]temos que[/b] ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BPA%7D[/img]X [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]|| = [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a*x_%7B1%7D%20+%20b*y_%7B1%7D%20+%20c*z_%7B1%7D%5Cright%20%7C[/img][br][b]Sabemos[/b] que ||[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D[/img]|| = [math]\sqrt{a^2+b^2}[/math] . (Embora o vetor (a,b) seja na realidade o [b]vetor normal à reta[/b], eu posso usá-lo porque o módulo deles é o mesmo)[br][br][br][b]Logo, a equação da distância entre [u]ponto e reta no plano[/u]:[br][br][/b] h=D([color=#0b5394]A[/color],[color=#ff0000]r[/color])=[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%20a*x_%7B1%7D%20+%20b*y_%7B1%7D%20+%20c*z_%7B1%7D%5Cright%20%7C[/img] /[math]\sqrt{a^2+b^2}[/math][br][br]