(pequena) Enciclopédia dos triângulos

Matemática? Absolutamente!, Nov 9, 2024

Inspirado em "[i]Encyclopedia of Triangle Centers[/i]", disponível em: [url]https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/part1.html[/url]

Table of Contents

  1. Pontos de Kimberling
    1. X(1) - Incentro
    2. X(2) - Baricentro
    3. X(3) - Ciruncentro
    4. X(4) - Ortocentro
    5. X(5) - Centro dos nove pontos
    6. X(6) - Ponto das simedianas (Lemoine ou Grebe)
    7. X(7) - Ponto de Gergonne
    8. X(8) - Ponto de Nagel
    9. X(9) - Ponto Mediano (mittenpunkt)
    10. X(10) - Centro de Spieker
    11. X(11) - Ponto de Feuerbach
    12. X(12) - Conjugado harmónico do ponto de Feuerbach
    13. X(13) - Primeiro centro isogónico (Fermat ou Torricelli)
    14. X(14) - Segundo centro isogónico (2.º pt. Fermat)
    15. X(15) - Primeiro ponto isodinâmico
    16. X(16) - Segundo ponto isodinâmico
    17. X(17) - Primeiro ponto de Napoleão
    18. X(18) - Segundo ponto de Napoleão
    19. X(19) - Ponto de Clawson
    20. X(20) - Ponto de de Longchamps
    21. X(21) - Ponto de Schiffler
    22. X(22) - Ponto de Exeter
    23. X(23) - Ponto distante ("Far-Out")
    24. X(54) - Ponto de Kosnita (Rigby)
    25. X(99) - Ponto de Steiner
    26. X(110) - Foco da parábola de Kiepert
  2. Outros pontos
    1. Pontos de Euler
    2. Exincentros
    3. Pontos de Miquel
  3. Retas
    1. Reta de Euler
    2. Reta de Nagel
    3. Reta de Simson
  4. Circunferências
    1. Incírculo ou circunferência inscrita
    2. Circuncírculo ou circunferência circunscrita
    3. Circunferência dos 9 pontos
  5. Triângulos
    1. Triângulo medial
    2. Triângulo órtico
    3. Triângulo anticomplementar
    4. Triângulo circum-medial
    5. Triângulo tangencial
    6. Triângulo extangencial
  6. Cónicas
    1. Elipse circunscrita de Steiner
    2. Elipse inscrita de Steiner
    3. Hipérbole de Jerabek

1.

Pontos de Kimberling

Construído a partir da "[i]Encyclopedia of Triangle Centers[/i]" disponível em: [url]https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/part1.html[/url]

  • 1. X(1) - Incentro
  • 2. X(2) - Baricentro
  • 3. X(3) - Ciruncentro
  • 4. X(4) - Ortocentro
  • 5. X(5) - Centro dos nove pontos
  • 6. X(6) - Ponto das simedianas (Lemoine ou Grebe)
  • 7. X(7) - Ponto de Gergonne
  • 8. X(8) - Ponto de Nagel
  • 9. X(9) - Ponto Mediano (mittenpunkt)
  • 10. X(10) - Centro de Spieker
  • 11. X(11) - Ponto de Feuerbach
  • 12. X(12) - Conjugado harmónico do ponto de Feuerbach
  • 13. X(13) - Primeiro centro isogónico (Fermat ou Torricelli)
  • 14. X(14) - Segundo centro isogónico (2.º pt. Fermat)
  • 15. X(15) - Primeiro ponto isodinâmico
  • 16. X(16) - Segundo ponto isodinâmico
  • 17. X(17) - Primeiro ponto de Napoleão
  • 18. X(18) - Segundo ponto de Napoleão
  • 19. X(19) - Ponto de Clawson
  • 20. X(20) - Ponto de de Longchamps
  • 21. X(21) - Ponto de Schiffler
  • 22. X(22) - Ponto de Exeter
  • 23. X(23) - Ponto distante ("Far-Out")
  • 24. X(54) - Ponto de Kosnita (Rigby)
  • 25. X(99) - Ponto de Steiner
  • 26. X(110) - Foco da parábola de Kiepert

1.1.

X(1) - Incentro

Principais características
[list][*]Interseção das três bissetrizes dos ângulos internos[/*][*]Centro da circunferência inscrita[/*][/list]
– Matemática? Absolutamente!

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

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1.10.

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1.11.

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1.12.

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1.13.

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1.14.

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1.15.

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1.16.

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1.17.

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1.18.

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1.19.

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1.20.

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1.21.

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1.22.

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1.23.

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1.24.

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1.25.

–

1.26.

–

2.

Outros pontos

  • 1. Pontos de Euler
  • 2. Exincentros
  • 3. Pontos de Miquel

2.1.

Pontos de Euler

Principais características
[list][*]São os três pontos médios entre o ortocentro e cada um dos vértices[/*][*]Os três definem o triângulo de Euler, que é uma homotetia do triângulo de referência de centro no ortocentro e razão [math]\frac{1}{2}[/math][/*][*]São os circuncentros dos triângulos definidos por cada vértice e os pés das alturas adjacentes, pelo que pertencem a cada uma das retas retas de Euler desses triângulos, e as três retas de Euler intersetam-se num ponto único que pertence à circunferência dos 9 pontos do triângulo de referência[/*][/list]
Referências
[list][*][url=https://mathworld.wolfram.com/EulerPoints.html]mathworld.wolfram[/url][br][/*][/list]
– Matemática? Absolutamente!

2.2.

–

2.3.

–

3.

Retas

  • 1. Reta de Euler
  • 2. Reta de Nagel
  • 3. Reta de Simson

3.1.

Reta de Euler

Principais características
[list][*]Contém o Baricentro, o Circuncentro, o Ortocentro e a o Centro dos 9 pontos. [/*][*][math]\overline{NO}=\overline{NH}[/math][br][/*][*][math]\overline{GH}=2\overline{GO}[/math][br][br][br][br][br][/*][/list]
– Matemática? Absolutamente!

3.2.

–

3.3.

–

4.

Circunferências

  • 1. Incírculo ou circunferência inscrita
  • 2. Circuncírculo ou circunferência circunscrita
  • 3. Circunferência dos 9 pontos

4.1.

Incírculo ou circunferência inscrita

Principais características
[list][*]Tem centro no Incentro[/*][*]É tangente à circunferência dos 9 pontos[/*][*]O raio é dado por [math]r=\frac{\Delta}{s}[/math], em que [math]\Delta[/math] é a área e [math]s[/math] o semiperimetro do triângulo de referência[/*][/list]
Referências
[list][*][url=https://mathworld.wolfram.com/Incircle.html]mathworld.wolfram[/url][br][/*][/list]
– Matemática? Absolutamente!

4.2.

–

4.3.

–

5.

Triângulos

Lista detalhadda em [url]https://mathworld.wolfram.com/Perspectrix.html[/url]

  • 1. Triângulo medial
  • 2. Triângulo órtico
  • 3. Triângulo anticomplementar
  • 4. Triângulo circum-medial
  • 5. Triângulo tangencial
  • 6. Triângulo extangencial

5.1.

Triângulo medial

Principais características
[list][*]Os vértices são os pontos médios do triângulo de referência[/*][*]O Baricentro dos triângulos medial e de referência é comum[/*][*]O Ortocentro do triângulo medial é o Circuncentro do triângulo de referência[br][/*][*]O Circuncentro do triângulo medial é o Centro dos 9 pontos do triângulo de referência[/*][*]O Ponto de Nagel do triângulo medial é o Incentro da circunferência de referência[/*][*]O Incentro do triângulo medial é o centro de Spieker do triângulo de referência[br][/*][*]A circunferência circunscrita do triângulo medial é a circunferância dos 9 pontos do triângulo de referência[/*][*]A sua área é [math]\frac{1}{4}[/math] da área do triângulo de referência[/*][*]Resulta de uma homotetia do triângulo de referência com razão [math]-\frac{1}{2}[/math] e centro no Baricentro do triângulo de referência[/*][*]O Incentro do triângulo de referência pertece ao triângulo medial[/*][/list]
Referências
[list][*][url=https://mathworld.wolfram.com/MedialTriangle.html]mathworld.wolfram[/url][br][/*][/list]
– Matemática? Absolutamente!

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

6.

Cónicas

  • 1. Elipse circunscrita de Steiner
  • 2. Elipse inscrita de Steiner
  • 3. Hipérbole de Jerabek

6.1.

Elipse circunscrita de Steiner

Principais características
[list][*]É a elipse de centro no Baricentro que contém os vértices do triângulo[/*][*]É a elipse de menor área que contém os pontos A, B e C[/*][/list]Também designada por circunelipse ou elipse circuncrita.
Referências
[list][*][url=https://mathworld.wolfram.com/SteinerCircumellipse.html]mathworld.wolfram[/url][br][/*][/list]
– Matemática? Absolutamente!

6.2.

–

6.3.

–

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