[justify]Historicamente a noção de integral brotou da necessidade de calcular áreas de figuras planas cujos contornos não são segmentos de reta. Vejamos o exemplo 1: Use retângulos para estimar a área sob a parábola f(x)=x² com x variando no intervalo [0, 1], a região parabólica S ilustrada pela construção 1. Instruções para obter o solicitado:[br]       i.  Inserir no campo [b]Função=x²[/b]   [br] ii.  Marcar para obter a somas superior e inferior[br]    iii.  Inserir para os valores a=0 e b=1 do intervalo [a, b] a ser calculada a região, bem como o n=14, ou seja, definir a partição do intervalo em quatorze subintervalos de mesma amplitude (Clicar no ícone AMPLIAR, do Geogebra, para uma melhor visualização dos retângulos inferiores e superiores).[br]Em primeiro lugar aproximamos a região S por retângulos e depois tomamos o limite das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número de retângulos. É importante salientar que as retas x=0, x=1,e y=0 são delimitadoras da região sob o gráfico de f(x)=x². Obtemos como resultados aproximados para a soma inferior s=0,3 e superior S=0,37. Note que o controle deslizante n está configurado para até 100 partições do intervalo [a, b], se deslocamos o valor de n para 100 partições, as áreas inferior e superior, serão respectivamente 0,33 e 0,34, ou seja, se aproximará cada vez mais da área correta que é 1/3. Portanto o valor real da área A está compreendido no intervalo 0,33<A<0,34. Então é possível perceber que quanto maior o nº de partições, a área vai tender a área delimitada por f(x). [br]Fica a curiosidade, porque afirmar que a área é 1/3? Será o nosso objeto de estudo.[br]Para a região R do Exemplo 1, mostre que a soma das áreas dos retângulos aproximantes superiores tende a 1/3, ou seja, [math]lim_{n\longrightarrow\infty}R_n=\frac{1}{3}.[/math] [/justify][justify]Fica a curiosidade, porque afirmar que a área é 1/3? Será o nosso objeto de estudo.Solução: A[sub]n[/sub] é a soma das áreas dos n retângulos no exemplo 1. Cada retângulo tem largura 1/n, e as alturas são os valores da função f(x)=x[sup]2[/sup] nos pontos 1/n, 2/n, 3/n,...., n/n; isto é, as alturas são (1/n)[sup]2[/sup], (2/n)[sup]2[/sup], (3/n)[sup]2[/sup],....,(n/n)[sup]2[/sup].[br][/justify]Assim [math]R_n=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{1}{n}\left(\frac{2}{n}\right)^2+\frac{1}{n}\left(\frac{3}{n}\right)^2+...+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2[/math] [br][br] [math]=\frac{1}{n}.\frac{1}{n^2}\left(1^2+2^2+3^2+...+n^2\right)[/math][br] [math]=\frac{1}{n^3}\left(1^2+2^2+3^2+...+n^2\right)[/math][br]Necessitamos aqui da fórmula da soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos:[br][math]1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6n^2}\left(I\right)[/math][br]Talvez você já tenha visto essa fórmula antes. Então substituindo a fórmula (I) em nossa expressão para [math]A_n[/math], obtemos[br][math]R_n=\frac{1}{n^3}.\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6n^2}[/math][br]Assim temos[br][math]lim_{n\longrightarrow\infty}R_n=lim_{n\longrightarrow\infty}\left(\frac{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6n^2}\right)[/math][br] [math]=lim_{n\longrightarrow\infty}\left(\frac{1}{6}\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{2n+1}{n}\right)\right)[/math][br][br] [math]=lim_{n\longrightarrow\infty}\left(\frac{1}{6}.\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)=\frac{1}{6}.1.2=\frac{1}{3}[/math]

2 – Definição:[br]A [b]área[/b] A da região da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite das somas[br]das áreas dos retângulos aproximantes:[br][br][math]A=lim_{n\longrightarrow\infty}R_n=lim_{n\longrightarrow\infty}\left[f\left(x_1\right).\Delta x+f\left(x_2\right).\Delta x+...+f\left(x_n\right).\Delta x\right][/math][br]Pode ser provado que o limite da Definição 2 sempre existe, uma vez que estamos supondo que f seja[br]contínua. Pode também ser provado que obtemos o mesmo valor se usarmos os extremos esquerdos dos subintervalos: [br][math]A=lim_{n\longrightarrow\infty}L_n=lim_{n\longrightarrow\infty}\left[f\left(x_0\right).\Delta x+f\left(x_1\right).\Delta x+...+f\left(x_{n-1}\right).\Delta x\right][/math][br]Ou seja, também podemos reescrever a área a região A da seguinte maneira: [br][math]\sum_{i=1}^n\left(i^2\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}[/math][br]Vamos determinar a área A da região que está sob o gráfico de [math]f\left(x\right)=e^{-x}[/math][sup] [/sup]no intervalo [0, 2].[br]Usando os extremos direitos, vamos determinar uma expressão para A como um limite, não vamos computar o limite. Note que usar o extremo direito é mostrar a soma pela esquerda.[br]Considerando Solução: Uma vez que a=0 e b=2, a largura de intervalo um intervalo é [br] [math]\Delta_x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}[/math] [br]Logo [math]x_1=\frac{2}{n}[/math], [math]x_2=\frac{4}{n}[/math], [math]x_3=\frac{6}{n}[/math], [math]x_i=\frac{2i}{n}[/math] e [math]x_n=\frac{2n}{n}[/math]. A soma das áreas dos retângulos aproximantes é[br][br][math]R_n=f\left(x_1\right).\Delta x+f\left(x_2\right).\Delta x+...+f\left(x_n\right).\Delta x[/math][br] [math]=e^{-x_1}.\Delta_x+e^{-x_2}.\Delta_x+...+e^{-x_n}.\Delta_x[/math][br] [math]=e^{\frac{-2}{n}}.\left(\frac{2}{n}\right)+e^{\frac{-4}{n}}.\left(\frac{2}{n}\right)+...+e^{\frac{-2}{n}}.\left(\frac{2}{n}\right)e^{\frac{-2}{n}}.\left(\frac{2}{n}\right)[/math][br]De acordo com a Definição 2, a área é[br][math]A=lim_{n\longrightarrow\infty}R_n=lim_{n\longrightarrow\infty}\frac{2}{n}\left(e^{\frac{-2}{n}}+e^{\frac{-4}{n}}+e^{^{\frac{-6}{n}}+...+e^{\frac{-2n}{n}}}\right)[/math][br]Usando a notação de somatório podemos escrever[br][math]A=lim_{n\longrightarrow\infty}\frac{2}{n}\sum_{i=1}^ne^{\frac{-2i}{n}}[/math][br]É difícil computar esse limite diretamente à mão, mas com a ajuda da janela  Cas isso não é tão complicado.[br]Com n=4 os subintervalos com a mesma largura [math]\Delta_x=0.5[/math] (lembre-se que no Geogebra 0,5 é representado por 0.5) são [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]. Os pontos médios desses intervalos são [math]\overline{x_1}=0.50[/math], [math]\overline{x_2}=0.75[/math], [math]\overline{x_3}=1.25[/math], [math]\overline{x_4}=1.75[/math], a soma das áreas dos quatro retângulos aproximantes é[br][math]M_4=\sum_{i=1}^4f\left(\overline{x_i}\right).\Delta x[/math][br] [math]=f\left(0,25\right).\Delta x+f\left(0,75\right).\Delta x+f\left(1,25\right).\Delta x+f\left(1,75\right).\Delta x[/math][br] [math]=e^{-0,25}\left(0,5\right)+e^{-0,75}\left(0,5\right)+e^{-1,25}\left(0,5\right)+e^{-0,75}\left(0,5\right)[/math] [br] [math]=\frac{1}{2}\left(e^{-0,25}+e^{-0,75}+e^{-1,25}+e^{-1,75}\right)\cong0,08557[/math] [br]Logo uma estimativa para a área é [math]A\cong0,8557[/math].[br]Agora tente fazer uma estimativa com n=10 os subintervalos e seus pontos médios. Ex: [0, 0.2] e ponto médio igual a 0.1.[br]Use a construção 1 para obter a resposta aproximada.

A derivada e a integral são dois conceitos básicos em torno dos quais se desenvolve todo o Cálculo. Vimos, no Capítulo 1, que a derivada tem origem geométrica: está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva. A integral também tem uma origem geométrica: está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana delimitada por uma curva qualquer. [br]Definição: Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e seja P uma partição qualquer de [a,b]. A integral definida de f de a até b é denotada por:[br]Se [math]\int_{_a}^bf\left(x\right)dx[/math] é dada por [math]lim_{\Delta xi\longrightarrow0}\sum_{i=1}^nf\left(ci\right)\Delta xi[/math][br][br]Se [math]\int_a^bf\left(x\right)dx[/math] existe, dizemos que f é integrável em [a, b][br]Da notação, os números a e b são chamados limites de integração ( a= limite inferior e b= limite superior)[br]Se f é integrável em [a,b], então [math]\int_a^bf\left(x\right)dx[/math]. Isto é, podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente.[math]\int_a^bf\left(x\right)dx=0[/math][br]Quando a função f é contínua e não negativa em [a, b], a definição  da integral definida coincide com a definição de área. Nesse caso a integral definida [math]\int_a^bf\left(x\right)dx[/math] é a área da região sob o gráfico de f de a até b.[br]Daí [br]a) Se [math]a>b[/math], então [math]\int_a^bf\left(x\right)dx=-\int_a^bf\left(x\right)dx[/math], se a integral existir.[br]b) Se a=b, então [math]\int_{_a}^bf\left(x\right)dx=0[/math].[br]Surge uma interrogação, como verificar se uma função é integrável ou não. Então vamos explicitar alguns teoremas que auxiliem tal verificação.[br]Teorema 1: Toda função monótona [math]f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}[/math] é integrável.[br]Teorema 2: Toda função contínua [math]f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}[/math] é integrável.[br][br]