Para una función [math]r\left(t\right)=\left\langle f\left(t\right),g\left(t\right),h\left(t\right)\right\rangle[/math], el límite de [math]r\left(t\right)[/math] cuando [math]t[/math] se aproxima [math]a[/math] está dada por:[br][br] [math]lim_{t\rightarrow a}r\left(t\right)=lim_{t\longrightarrow a}\left\langle f\left(t\right),g\left(t\right),h\left(t\right)\right\rangle=\left\langle lim_{t\longrightarrow a}f\left(t\right),lim_{t\longrightarrow a}g\left(t\right),lim_{t\longrightarrow a}h\left(t\right)\right\rangle,[/math][br][br]siempre que existan todos los límites indicados. Si algunos de los límites indicados en el lado derecho de no existir, entonces el [math]lim_{t\longrightarrow a}r\left(t\right)[/math] no existe.

[size=150]La función vectorial [math]r\left(t\right)=\left\langle f\left(t\right),g\left(t\right),h\left(t\right)\right\rangle[/math] es continua [math]t=a[/math] siempre que:[br][br] [math]lim_{t\longrightarrow a}r\left(t\right)=r\left(a\right)[/math][br][br](es decir, siempre que el límite exista y sea igual al valor de la función vectorial).[/size]

[size=200][color=#0000ff]Límites de funciones de valor vectorial.[/color][/size]

[size=150][b]1.-[/b][size=100][size=200][math]lim_{t\longrightarrow0}\left\langle t^2-1,e^{2t},sint\right\rangle[/math][/size][/size][/size].[br][size=150][size=100][br]Para calcular el límite de esta función, calculamos el límite de sus componentes:[br][br][math]lim_{t\longrightarrow0}t^2-1=\left(0\right)^2-1=-1[/math][br][br][math]lim_{t\longrightarrow0}e^{2t}=e^{2\left(0\right)}=1[/math][br][br][math]lim_{t\longrightarrow0}sin\left(t\right)=sin\left(0\right)=0[/math][br][br]Entonces, el límite de esta función es:[br][br][math]=\left\langle-1,1,0\right\rangle.[/math][/size][/size]

[size=150][b]3.-[/b][math]lim_{t\longrightarrow0}\left\langle\frac{sint}{t},cost,\frac{t+1}{t-1}\right\rangle.[/math][br][br][/size][size=150][size=100]Para calcular el límite de esta función, calculamos el límite de sus componentes:[/size][br][br][math]lim_{t\longrightarrow0}\left(\frac{sint}{t}\right)=\frac{sin\left(0\right)}{\left(0\right)}[/math][/size]=no existe el límite.[br][br][math]lim_{t\longrightarrow0}cost=cos\left(0\right)=1[/math][br][br][math]lim_{t\longrightarrow0}\left(\frac{t+1}{t-1}\right)=\frac{0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1[/math][br][br]Entonces, tenemos que:[br][br][math]\therefore[/math] no existe el límite.

[size=150][b]5.-[/b][math]lim_{t\longrightarrow0}\left\langle ln\left(t\right),\sqrt{t^2+1},t-3\right\rangle.[/math][br][br][size=100]Para calcular el límite de esta función, calculamos el límite de sus componentes:[/size][br][br][/size][math]lim_{t\longrightarrow0}ln\left(t\right)=ln\left(0\right)=[/math] No existe en los reales.[br][br][math]lim_{t\longrightarrow0}\sqrt{t^2+1}=\sqrt{\left(0\right)^2+1}=\sqrt{1}=1[/math][br][br][math]lim_{t\longrightarrow0}t-3=\left(0\right)-3=-3[/math][br][br]Entonces, tenemos que:[br][br][math]\therefore[/math] El límite no existe.[br][br]

[size=200][color=#0000ff]Continuidad de funciones de valor vectorial.[/color][/size]

Una función vectorial [math]r\left(t\right)=\left\langle f\left(t\right),g\left(t\right),h\left(t\right)\right\rangle[/math] es continua en [math]t=a[/math] si y solo si, todas las f, g, h son continuas en [math]t=a[/math].

[size=150][b]7.-[/b][math]r\left(t\right)=\left\langle\frac{t+1}{t-2},\sqrt{t^2-1},2t\right\rangle[/math][br][br][math]\frac{t+1}{t-2}[/math] es continua en los puntos 2 < t > 2[br][/size][br][math]\sqrt{t^2-1}[/math] es continua en los puntos -1< t >1[br][br][math]2t[/math] es continua en [math]\mathbb{R}[/math][br][br][math][/math][math]\therefore[/math][b] r(t)[/b] no es continua.

[size=150][b]9.-[/b][/size][math]r\left(t\right)=\left\langle tant,sint^2,cost\right\rangle[/math][br][br][math]tan\left(t\right)[/math] es continua en los [math]\mathbb{R}[/math] excepto en múltiplos impares de [math]\frac{\pi}{2}[/math].[br][br][math]sin\left(t^2\right)[/math] es continua en todo [math]\mathbb{R}[/math].[br][br][math]cos\left(t\right)[/math] es continua en todo [math]\mathbb{R}[/math].[br][br][math]\therefore[/math] [b]r(t)[/b] es continua en [math]\mathbb{R}[/math] excepto en múltiplos impares de [math]\frac{\pi}{2}[/math].

[size=150][b]11.-[/b][math]r\left(t\right)=\left\langle e^{\frac{2}{t}},\sqrt{t^2+t},\frac{2}{t+3}\right\rangle[/math][br][/size][br][math]e^{\frac{2}{t}}[/math] es continua en los [math]\mathbb{R}[/math] excepto en t=0[br][br][math]\sqrt{t^2+t}[/math] es continua en [0,[math]\infty[/math]).[br][br][math]\frac{2}{t+3}[/math] es continua en los reales excepto en t=-3[br][br][math]\therefore[/math] [b]r(t)[/b] no es continua, por la primera y tercera función.

[size=150][b]13.-[/b][math]r\left(t\right)=\left\langle\sqrt{t},\sqrt{4-t},tan\left(t\right)\right\rangle[/math][br][br][math]\sqrt{t}[/math] es continua en [0, [math]\infty[/math]).[/size][br][br][math]\sqrt{4-t}[/math] es continua en ([math]\infty[/math], 4].[br][br][math]tan\left(t\right)[/math] es continua en el intervalo (-π/2, π/2).[br][br][math]\therefore[/math] [b]r(t)[/b] es continua en los puntos [0,4)[math]\cap[/math](-π/2, π/2)