Wie bei den meisten mathematischen Aufgaben, gibt es auch hier verschiedene Lösungswege: Zwei davon sind [br][list][*]Die quadratische Ergänzung[/*][*]"Ablesen" der x-Koordinate des Scheitelpunktes und berechnen der y-Koordinaten[/*][/list][br][br]Beispiel: [br][b]Quadratische Ergänzung:[/b][br]Gegeben ist die Funktion [br][math]f(x)=2\,x^2-8\,x-1\qquad \Big\vert[/math] den Parameter [math]a[/math] aus den ersten beiden Termen ausklammern[br][math]f(x)=2\cdot(x^2-4\,x)-1\qquad \Big\vert[/math] [color=#980000][b]erweitern der Klammer zu einer binomischen Formel[/b][/color][br] [math]f(x)=2\cdot(\underbrace{x^2-4\,x\fgcolor{red}{+4}}_{(x-2)^2}\fgcolor{red}{-4})-1\qquad \Big\vert[/math] binomische Formel anwenden[br] [math]f(x)=2\cdot((x-2)^2\fgcolor{red}{-4})-1\qquad \Big\vert[/math] Ausmultiplizieren der äußeren Klammer[br] [math]f(x)=2\cdot(x-2)^2-8-1\qquad \Big\vert[/math] Zusammenfassen[br] [math]f(x)=2\cdot(x-2)^2-9\qquad \Big\vert[/math] fertig[br][br][size=200]oder:[/size]

Die Mitternachts- oder die pq-Formel (siehe [url=https://www.geogebra.org/m/ggrz2had#material/hpthrwes]hier[/url]) beginnen jeweils mit der [math]x[/math]-Koordinate des Scheitelpunktes und rechnen dann von dort plus oder minus den Abstand vom dieser Koordinate zu den Nullstellen:[br][b]Mitternachts-Formel[/b]:[br][math]x_{1,2}=\frac{\fgcolor{#AA0000}{-b}\pm\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{\fgcolor{#AA0000}{2a}}=\fgcolor{#AA0000}{-\frac{b}{2a}}\pm\frac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{{2\,a}[/math][br]oder[br][b]p-q-Formel[/b]:[br][math]x_{1,2}=\fgcolor{#AA0000}{-\frac{p}{2}}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}[/math][br][br]Das heißt die [math]x[/math]-Koordinate des Scheitelpunktes ist[br][math]s_x=-\frac{b}{2\cdot a}=-\frac{p}{2}[/math]. Wenn man dieses [math]s_x[/math] in die Gleichung von [math]f(x)[/math] einsetzt, dann erhält man dazu [math]s_y[/math], die [math]y[/math]-Koordinate des Scheitelpunktes:[br][br][math]f(x)=2\,x^2-8\,x-1\qquad \Big\vert[/math] [math]s_x=-\frac b{2\,a}[/math][br][math]\Rightarrow s_x=-\frac{-8}{2\cdot2}=2[/math][br][math]s_y=f(s_x)=2\cdot2^2-8\cdot2-1=-9[/math][br][br]Damit ist [math]f(x)=2\cdot(x-2)^2-9[/math]