Abb. Tangente an Kurvenlineal angelegt. Handlungsorientiert, anschaulich und kalkülfrei.
Tangenten, Tangentograph & Differentiograph
Elementares Verständnis von Tangenten, digitale Simulation eines Tangentographen und Erweiterung zum Differentiographen
Table des matières
- Berührgeraden
- Tangenten
- Tangente anlegen manuell
- Berührgerade anlegen und bewegen
- Analoger Tangentograph (Milici)
- Digitaler Tangentograph 3D Sicht
- Digitaler Tangentograph 2D und 3D
- Sekanten und Tangente
- Sekante anlegen
- Funktionenmikroskop: lokale Linearität
- Funktionenlupe: Sekantensteigungen, h-Methode
- Steigungskurve
- Ein digitaler Steigungskurvenzeichner (Differentiograph)
Tangenten
[size=150]Eine [i]Tangente [/i](von lateinisch [i]tangere[/i] ‚berühren‘) ist eine Gerade, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt P berührt (siehe Wikipedia). Dies ist eine [i]lokale [/i]Eigenschaft, d. h. 'in der Nähe' von P haben Tangente und Kurve nur den einen Punkt P gemeinsam. [br]Es ist diese [i]Definition [/i]bzw. Grundvorstellung einer Tangente von der geometrischen [i]Konstruktion [/i]bzw. analytischen [i]Berechnung [/i]zu unterscheiden.[br][br]In der Geometrie der Sekundarstufe I ist vor allem die Kreistangente bekannt. Sie wird konstruiert, indem man im Berührpunkt eine senkrechte Gerade zum Radius zeichnet. [br]Dieses Konstruktionsverfahren steht dann stark im Vordergrund, der Sonderfall dominiert die Grundvorstellung einer Tangente und behindert leider letztlich den Zugang zu Tangenten an anderen Kurven. [br][br]Es gibt über den Kreis hinaus kalkülfreie und intuitive, handlungsorientierte Zugänge zu Tangenten an Kurven.[br][list][*][size=150]Bei der Eisenbahn ist die Schiene für das Rad eine Tangente. [/size][/*][*][size=150]Legt man an eine Parabelschablone oder an ein Kurvenlineal ein Lineal an, so liefert das Lineal die Tangente im Berührpunkt. [/size][/*][/list][/size]
[size=150][br]Wie man mit einem [i]Tangentographen [/i]Tangenten [i]zeichnen [/i]kann, wird in dem nächsten Abschnitt thematisiert.[br][br]Die Differenzialrechnung wird sich dann mit der lokalen Steigung von Kurven (Funktionsgraphen) dahingehend beschäftigen, wie man aus dem Funktionsterm dann Steigung und Geradengleichung [i]berechnen [/i]kann. Die Tangente (so denn eine existiert) ist dann die optimale lineare Näherung der Kurve im Punkt P. [br]Die anschauliche Vorstellung des Anlegens einer Geraden an eine Kurve und des 'Berühr'punktes P stößt dabei an Grenzen und muss erweitert werden, z. B. bei f(x) = x³ oder f(x) = sin(x) im Punkt P = (0, 0). Dort wechselt die Krümmung der Kurve und die Tangente durchstößt dann den Graphen. [/size]
Sekante anlegen
[size=150]Die magenta Gerade verläuft durch den Punkt T und den Punkt S auf der Parabel.[br]Sie ist eine [i]Sekante [/i](und keine Berührgerade), weil sie den Graphen in zwei Punkten schneidet.[br]S kann beliebig nahe an T liegen, darf aber nicht mit T zusammenfallen (weil eine Gerade durch zwei Punkte definiert ist).[br]Ziehen Sie S so, dass die orangene Sekante im Rahmen der Zeichengenauigkeit) den Graphen von f berührt.[br]S soll sich einmal von links und einmal von rechts an T annähern. Wie groß müsste die Steigung der Berührgeraden sein?[br]Ziehen Sie nun T auf (2, 4) und wiederholen sie das Verfahren. Wie groß müsste jetzt die Steigung sein? [/size]
"In geometry, the tangent line (or simply tangent) to a plane curve at a given pointis the straight line that 'just touches' the curve at that point.[br]Leibniz defined it as the line through a pair of infinitely close points on the curve.”[br]Wikipedia en.
Ein digitaler Steigungskurvenzeichner (Differentiograph)
[size=150]Es ist der Graph einer Funktion [color=#0000ff]f[/color] gegeben. f kann im Eingabefenster geändert werden.[br]Auf dem blauen Graphen von [color=#0000ff]f[/color] kann durch Ziehen am grünen Punkt [color=#38761d]P [/color]die magenta Tangente [color=#ff00ff]t[/color] bewegt werden. [br]Durch Klicken auf die Check-Box [i]Differentiograph [/i]wird ein neuer Punkt [color=#cc0000]P'[/color] sichtbar, der die x-Koordinate von [color=#38761d]P[/color] hat und als y-Koordinate die aktuelle Tangentensteigung m. [br]Den Weg dieses Punktes [color=#cc0000]P'[/color] kann man als Spur sichtbar machen oder mit der Check-Box [i]Steigungskurve [/i]als Ortslinie anzeigen. [br][br]Ziehen Sie an P. Aktivieren Sie die Checkbox Differentiograph. Beobachten Sie den den Weg des Punktes P'. Sie können dazu den Spur-Modus einschalten oder die Steigungskurve als Ortslinie anzeigen lassen. Finden Sie einen Funktionsterm,, der diese Steigungskurve beschreibt? [br][/size][br][size=150]Wiederholen Sie dies für f(x) = x², x³, sin(x), cos(x).[/size]