Für glatte Jordan-Kurven [math]C\left(\subset\mathbb{R}^d\right)[/math] gibt es eine ausgezeichnete [b]Parametrisierung nach der Bogenlänge [/b][math]\gamma:\left[0,L\left(C\right)\right]\to \mathbb{R}^d[/math], für die die Länge des Weges [math]\gamma \left| {_{[0,t]} } \right.[/math] genau dem Parameter t entspricht.[br][br][b]Beispiel[/b][br]Wir betrachten die Kurve [math]\bf{r\left(s\right)=e^{-s}}[/math], die in Polarkoordinaten gegeben ist.[br]In Parameterdarstellung wird der Weg [math]\gamma_1:\left[a,b\right]\to C[/math] durch [math]\gamma_1\left(s\right)=\left(e^{-s}\cdot cos\left(s\right),e^{-s}\cdot sin\left(s\right)\right)[/math] beschrieben und ist eine stetig differenzierbare Jordan-Darstellung mit [math]\dot{\gamma_1}\left(s\right)\ne0[/math] für alle [math]s\in\left[a,b\right][/math].[br][br]Die Länge l des Weges [math]\gamma_1 \left| {_{[0,s]} } \right.[/math] kann berechnet werden mit [math]l\left(s\right)=\int_0^s \left| \dot{\gamma_1}(\sigma) \right| \, d\sigma[/math].[br]Mit [math]\dot{\gamma_1}\left(s\right) = (e^{-s} \cdot \left( -cos(s) - sin(s), -sin(s) + cos(s) \right) [/math] und [br][math]\left|\dot{\gamma_1}\left(s\right) \right| = e^{-s} \cdot \sqrt{(-cos(s) - sin(s))^2 + (-sin(s) + cos(s))^2 } = e^{-s} \cdot \sqrt{1 + 2sin(s) \cdot cos(s) +1 - 2sin(s) \cdot cos(s)} = e^{-s} \cdot \sqrt{2}[/math] [br]folgt [center][math]l\left(s\right)=\int_0^s \left| \dot{\gamma_1}(\sigma) \right| \, d\sigma = \sqrt{2} \cdot \int_0^s e^{-\sigma} \, d\sigma = \sqrt{2} \cdot e^{-\sigma} \left| {_0^s} \right. =\sqrt{2} \left(1-e^{-s} \right) [/math][/center]Da mit [math]\dot{\gamma_1}\left(s\right)\ne0[/math] für alle [math]s\in\left[a, b\right][/math] ist, ist [math]l:\left[a, b\right] \to\left[0,L\left(C\right)\right][/math] eine streng monoton wachsende Bijektion.[br]Nun berechnen wir die Umkehrfunktion [math]l^{-1}[/math].[br][center][math]l\left(s\right)=\sqrt{2}\left(1-e^{-s}\right)=t[/math] [br][math]1-\frac{t}{\sqrt{2}}=e^{-s}[/math][br][math]s=ln\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-t}\right)=l^{-1}\left(t\right)[/math][/center]Damit erhalten wir die[b] auf Bogenlängenparameter bezogene[/b] Form des Weges γ[br][math]\bf{\gamma\left(t\right)}=\gamma_1\left(l^{-1}\left(t\right)\right)=\left(e^{-ln\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-t}\right)}\cdot cos(ln\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-t}\right),e^{-ln\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-t}\right)}\cdot sin(ln\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-t}\right)\right)=[/math] [br] [math] \bf{ = \left( \ \frac{\sqrt{2}-t}{\sqrt{2}} \cdot cos\left( ln\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-t}\right) \right), \frac{\sqrt{2}-t}{\sqrt{2}} \cdot sin\left(ln\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-t}\right)\right)\right)}[/math][br][br]Diese [b][color=#ff0000]Kurve γ[/color][/b] ist im folgenden Applet gezeichnet. Man kann sich leicht überzeugen, dass die [b][color=#ff0000]Bogenlänge [/color][/b]und der [b][color=#ff0000]Parameter t[/color][/b] übereinstimmen.

Eine analoge Berechnung ergibt für die [b]Kurve [math]\bf{r\left(s\right)=a\cdot e^{k\cdot s}}[/math] [/b](logarithmische Spirale) eine auf Bogenlänge bezogene Parametrisierung.[br][br]Die [b]Parameterdarstellung der [/b][b]logarithmischen Spirale[/b] lautet [math]\gamma_1\left(t\right)=\left(a\cdot e^{k\cdot s}\cdot cos\left(s\right),a\cdot e^{k\cdot s}\cdot sin\left(s\right)\right)[/math].[br][br]Mit [math]\left| \dot{\gamma}_1\left(s\right) \right| = a\cdot e^{k\cdot s}\cdot\sqrt{1+k^2}[/math] beträgt die Länge l der Kurve dann [math]l\left(s\right)=\int_0^s \left|\dot{\gamma}_1\left(\sigma \right) \right| d\sigma = a\cdot\int_0^s\sqrt{\left(1+k^2\right)}\cdot e^{k\cdot\sigma} d\sigma = \frac{a\cdot\sqrt{1+k^2}}{k} \cdot e^{k \cdot \sigma} \Bigg|_0^s = \frac{a\cdot\sqrt{1+k^2}\cdot\left(e^{k\cdot s}-1\right)}{k}[/math][br][br]Für den Parameter s ergibt sich daher [math]s = \frac{1}{k} \cdot ln \frac{k\cdot t + a\cdot \sqrt{1+k^2}}{a \cdot \sqrt{1+k^2}}[/math].[br][br]Die auf [b]Bogenlängenparameter bezogene Parametrisierung[/b] ist dann[br][math]\bf{\gamma\left(t\right) = \left(a\cdot \frac{k\cdot t + a\cdot \sqrt{1+k^2}}{a \cdot \sqrt{1+k^2}} cos\left( \frac{1}{k} \cdot ln \frac{k\cdot t + a\cdot \sqrt{1+k^2}}{a \cdot \sqrt{1+k^2}} \right), a\cdot \frac{k\cdot t + a\cdot \sqrt{1+k^2}}{a \cdot \sqrt{1+k^2}} sin\left(\frac{1}{k} \cdot ln \frac{k\cdot t + a\cdot \sqrt{1+k^2}}{a \cdot \sqrt{1+k^2}} \right)\right)}[/math].