Der Bestand nimmt am ersten Halbtag um 4,24 μg ab, am zweiten um 4,06 μg. Die relative Abnahme beträgt am ersten Halbtag 4,24 % vom Anfangswert 100 μg und am zweiten Halbtag 4,24 % vom Anfangswert 95,76 μg. Die absolute Änderung des ersten Tages beträgt 4,24 μg + 4,06 μg = 8,3 μg. Das sind, wie schon bekannt, 8,3 % vom Anfangswert des ersten Tages.

Der Wert in Spalte C entspricht dem Ausdruck [br][math]\frac{f\left(x+0,5\right)-f\left(x\right)}{0,5}[/math].[br]Der Zähler f(x+0,5) - f(x) gibt die Bestandsänderung in μg während des betreffenden Halbtags an. Diese wird durch die Zeit (0,5 Tage) dividiert, d.h. die Änderung wird verdoppelt und damit auf die Einheit μg/Tag "hochgerechnet". [br]Es handelt sich um die Angabe einer [i]mittleren Änderungsgeschwindigkeit[/i] für den betreffenden Halbtag in der Maßeinheit μg/Tag. [br]Die Änderung eines ganzen Tages ist das arithmetische Mittel aus den beiden Halbtagswerten. Für den ersten Tag ergibt sich z.B. die Änderung (-8,48 + (-8,12)) / 2 μg = - 8,3 μg.

Der blaue Graph stellt weiterhin den Bestandsverlauf dar, wobei die Punkte jetzt dichter liegen als vorher, nämlich im Abstand von 0,5 Tagen. [br]Der rote Graph stellt mit derselben Genauigkeit den zeitlichen Verlauf der Änderungsgeschwindigkeit des Bestands (jeweils als Durchschnittswert für einen Halbtag) dar.[br]Der schwarze Graph zeigt, dass beide genannten Größen zueinander proportional sind, was sich auch in der Konstanz des Wertes in Spalte D ausdrückt. Die Zahl -0,0848 bzw. -8,48 % ist die Steigung der Geraden, auf der die Punkte im unteren Diagramm liegen. [br][br]Die relative Änderung pro Tag beträgt bekanntlich -8,3 % vom Anfangswert. Man kann aber auch die Werte in Spalte D als relative Änderung pro Tag auffassen, wenn man sie nicht auf den Anfangswert f(x) des Tages bezieht, sondern auf den Mittelwert m zwischen f(x) und f(x+0,5).[br][br]Rechnerischer Nachweis: Das arithmetische Mittel ist [math]m=\frac{f\left(x+0,5\right)+f\left(x\right)}{2}=\frac{0,917^{0,5}+1}{2}\cdot f\left(x\right)\approx0,9788\cdot f\left(x\right)[/math]. [br]Es gilt: -8,48 % · m = -0,0848 · 0,9788 · f(x) = -8,3 % · f(x), was bekanntlich die Änderung des Bestands pro Tag ist.[br]Für einen allgemeineren Beweis siehe Aufgabe 2c).[br]

Bestand in μg nach einem Halbtag: f(x+0,5) = 100 · 0,917[sup]x+0,5[/sup] = 0,917[sup]0,5 [/sup]· f(x) ≈ 0,9576 · f(x).[br]Abnahme in μg: f(x+0,5) - f(x) = (0,9576 - 1) · f(x) ≈ - 0,0424 · f(x)[br]Abnahmegeschwindigkeit in μg Tag: (f(x+0,5) - f(x)) / 0,5 = -0,0848 · f(x)[br]Division durch f(x) ergibt den konstanten Wert -0,0848 = -8,48 %.[br][br][br][br]

Die Werte des Bestands an radioaktivem Jod-131 werden in immer kürzeren Abständen h in der Tabelle (Spalte B) und im Diagramm (blau) dargestellt. Die roten Werte (Spalte C) bzw, das rote Diagramm zeigen in den gleichen Abständen jeweils zum Zeitpunkt x die durchschnittliche Änderungsgeschwindigkeit im Intervall von x bis x+h in der Einheit μg/Tag. Spalte D zeigt, dass der Quotient aus Spalte C und Spalte B konstant ist, d.h. dass die Werte in den Spalten B und C zueinander proportional sind, was auch an der Linearität des schwarzen Diagramms erkennbar ist.

Bestand am Tag x: f(x) = 100 · 0,917[sup]x[/sup] (Spalte B) (in μg)[br]Bestand am Tag x+h: f(x+h) = 0,917[sup]h[/sup] · f(x) (in μg)[br]Änderung: f(x+h) - f(x) = (0,917[sup]h[/sup] - 1) · f(x) (in μg)[br]mittlere Änderungsgeschwindigkeit im Intervall [x, x+h]: [math]m_h\left(x\right)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0,917^h-1}{h}·f(x)[/math] (in μg/Tag)[br]Quotient (Spalte D): [math]\frac{m_h\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{0,917^h-1}{h}[/math] (in Prozent/Tag).

Der Beweis wird allgemein für einen beliebigen Anfangswert C = f(0) und eine beliebige Basis a > 0 geführt. Mit C = 100 und a = 0,917 ergibt sich der obige Spezialfall für f(x) = C · a[sup]x[/sup].[br][br]Nach der Formel für die geometrische Reihe gilt: [br][math]n\cdot \overline{f}(x)=f\left(x_0\right)+...+f\left(x_{n-1}\right)=C\cdot a^x\cdot\left(a^{\frac{^0}{n}}+...+a^{\frac{n-1}{n}}\right)\\=f\left(x\right)\cdot\left(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^0+...+\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{n-1}\right)=f\left(x\right)\cdot\frac{\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n-1}{a^{\frac{1}{n}}-1}=f\left(x\right)\cdot\frac{a-1}{a^{\frac{1}{n}}-1}=\frac{f\left(x+1\right)-f\left(x\right)}{a^{\frac{1}{n}}-1}[/math]. [br]Somit [math]\frac{f\left(x+1\right)-f\left(x\right)}{\overline{f}(x)}=n\cdot\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)=\frac{a^{\frac{^1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}[/math].[br]Im Sachkontext bedeutet das, dass die Zahl [math]\frac{0,917^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}[/math] (die nach b) nichts anderes ist als der konstante Wert [math]\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h\cdot f\left(x\right)}[/math], der sich für h=1/n in Spalte D der obigen Tabelle ergibt) die [i]relative [/i]Abnahme des Bestands an Jod-131 pro Tag, [i]bezogen auf den mittleren Tagesbestand [math]\overline{f}(x)[/math][/i], angibt. Für den Spezialfall n=2 wurde das bereits in Aufgabe 1c) numerisch verifiziert.