Ein Vektor wird als normiert bezeichnet, wenn seine Länge [math]|\vec{a}|=1[/math] ist. [br][br]Im folgenden Applet sind zwei normierte Vektoren, sowie der von ihnen eingeschlossenen Winkel [math]\alpha[/math] dargestellt. Das bedeutet [math]|\vec{a}|=1[/math] und [math]|\vec{b}|=1[/math].[br][br]Der Vektor [math]\vec{a}[/math] lässt sich zerlegen in einen zu [math]\vec{b}[/math] parallelen Teil (blau eingezeichnet) und einen zu [math]\vec{b}[/math] senkrechten Teil (gestrichelt eingezeichnet).[br][br][i]Überprüfen Sie exemplarisch, dass die Länge des zu [/i][math]\vec{b}[/math][i] parallelen Vektors dem Wert des Skalarprodukts der Vektoren [/i][math]\vec{a}[/math][i] und [/i][math]\vec{b}[/math][i] entspricht, indem sie den Vektor [/i][math]\vec{a}[/math][i] mithilfe des pinken Punkts verschieben.[br]Begründen Sie diesen Zusammenhang, indem sie die Koordinaten von [math]\vec{a}[/math] und [/i][math]\vec{b}[/math] [i]in der dargestellten Berechnung des Skalarprodukts betrachten.[/i][br][br]Die rote, gestrichelte und blaue Strecke ergeben zusammen ein rechtwinkeliges Dreieck.[br][i]Stellen sie einen Term zur Berechnung des markierten Winkels [/i][math]\alpha[/math][i] in diesem Dreieck auf.[/i][br]Verwenden Sie dafür zwei der drei genannten Strecken.[br][br][b]Tipps:[br][/b]Überlegen sie, welche Streckenlängen bekannt sind bzw. wie sie mit den vorherigen Überlegungen berechnet werden können.[br]Auch kann es helfen sich den Graphen anzeigen zu lassen, der die Länge der blauen Strecke mit dem eingeschlossenen Winkel in Verbindung bringt.

Im folgenden Applet können zusätzlich die Längen [math]|\vec{a}|[/math] und [math]|\vec{b}|[/math] der beiden Vektoren verändert werden.[br][br][i]Beschreiben Sie, wie sich das Skalarprodukt sowie der Graph verändert, wenn Sie die Länge eines der beiden Vektoren verändern.[br][/i][br][i]Ergänzen Sie ihren aufgestellten Term zur Berechnung des Winkels so, dass er auch für Vektoren gilt, die nicht normiert sind.[/i]