1º ESO - T06. PROPORCIONALIDAD
Table of Contents
- PROPORCIÓN NUMÉRICA (1008-1009.1)
- Propiedades de las proporciones
- MÁS TEORÍA
- Razón y Proporción
- AMPLÍA (I)
- Razón y Proporción (Actividad)
- Razón y proporción. Jugamos con los conceptos básicos
- Proporciones (1º ESO)
- Escala (ampliación y reducción)
- TEMPORAL
- ECUACIONES PROPORCIONALES (1228.1)
- TEMPORAL
- Ecuaciones de 1º grado (fracciones)
- MAGNITUDES PROPORCIONALES (1001.1)
- Tipos de relación entre magnitudes
- Término desconocido en proporcialidad directa. Tablas de proporcionalidad
- Proporcionalidad Inversa. Término desconocido
- CM1_7_2_1_Magnitudes directamente proporcionales
- CM2_3_3_1_Magnitudes inversamente proporcionales
- MÁS TEORÍA
- Magnitudes proporcionales
- AMPLÍA (I)
- Ejercicios proporcionalidad
- TEMPORAL
- Understanding the inverse proportion
- RESOLUCIÓN de PROBLEMAS (1007.1)
- Proporcionalidad directa. Regla de Tres
- Proporcionalidad inversa. Regla de Tres Inversa
- Proporcionalidad Directa e inversa. Regla de Tres
- Reducción a la unidad. Proporcionalidad directa
- Reducción a la unidad (cálculo del total) en Proporcionalidad Inversa
- Reducción a la unidad. Problemas
- MÁS TEORÍA
- AMPLÍA (I)
- Proporcionalidad directa e inversa
- TEMPORAL
- TIPO de Proporcionalidad (Directa e inversa).
- REPARTOS PROPORCIONALES (directos) (1003.1)
- Reparto proporcional. Problemas
- CM2_3_4_1_Repartos directamente proporcionales
- MÁS TEORÍA
- Reparto proporcional directo
- Reparto proporcional inverso
- AMPLÍA (I)
- TEMPORAL
- MATETIEMPOS
Propiedades de las proporciones
Aprenderemos a obtener nuevas proporciones a partir de una dada.
Tipos de relación entre magnitudes
Ejercicios
En los ejercicios se propondrán distintas situaciones (como las de los ejemplos), que tendremos que analizar y reconocer cuál es la relación entre las magnitudes que aparecen.[br][list][*]Pulsando en el tipo de relación, responderemos a cada pregunta.[/*][*]Cada respuesta correcta vale 1 punto.[/*][*]Cada respuesta incorrecta penaliza 1 punto.[/*][*]Podemos hacer tantos ejercicios como queramos. Se conservará la nota más alta que hayamos alcanzado.[/*][*]La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser [color=#6aa84f][b]verde[/b][/color].[br][/*][/list]
En el cuaderno
1. Para cada tipo de relación, elegiremos un ejercicio de los que aparecen en alguna de las situaciones vistas anteriormente y escribiremos en nuestro cuaderno la siguiente información:[br][list][*][b]Primera magnitud[/b] que interviene.[br][/*][*][b]Segunda [/b]magnitud que interviene.[br][/*][*][b]Tipo de relación[/b] que hay entre ambas.[br][/*][*][b]Justificación [/b]de por qué la relación es la que hemos indicado.[br]En total, habremos analizado 6 ejercicios (uno por cada posible tipo de relación).[br][/*][/list]2. Pensamos en dos situaciones diferentes a las de la actividad:[br][list][*]En la primera, identificaremos dos magnitudes relacionadas [b]directamente[/b].[/*][*]En la segunda, identificaremos dos magnitudes relacionadas [b]inversamente[/b].[/*][*]Describiremos cada ejemplo igual que en el apartado (1), incluyendo la [b]justificación[/b] de por qué la relación es la que decimos y si es o no de proporcionalidad.[/*][/list]
Ya sabemos que no todo es proporcionalidad
Como hemos visto, no todas las relaciones entre magnitudes son de proporcionalidad. Veamos algunos ejemplos más donde la relación podría parecer de proporcionalidad, pero en realidad NO lo es:[br][list=1][*]Diez músicos de la banda tocan cierto pasodoble en 3 minutos. ¿Cuánto tardan en tocarlo 20 músicos de la banda?[br]¡Pues también 3 minutos, pues ese es el tiempo que dura el pasodoble![br][/*][*]Si una persona tarda 10 minutos en recorrer el paseo marítimo, ¿cuánto tardan dos personas?[br]Pues lo normal es que tarden también 10 minutos, a no ser que vayan hablando y eso haga que caminen más deprisa o más despacio, o bien que una vaya más rápido que otra porque camina a diferente velocidad...[/*][*]Un cuadrado mide 3 metros de lado, así que su área es 9m[sup]2[/sup]. ¿Cuál será el área de un cuadrado de 6 metros de lado?[br]Pues [b]NO[/b] es 9·2=18m[sup]2[/sup], sino 9✕9=81m[sup]2[/sup], porque el área no es proporcional a la longitud del lado.[br][/*][/list]
Proporcionalidad directa. Regla de Tres
Instrucciones
[list][*]Si no sabes cómo resolver el ejercicio, puedes usar las pistas, pero recibirás menos puntos. [br][/*][*]Las respuestas incorrectas no restan. Puedes hacer todos los problemas que quieras.[/*][*]La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser [color=#6aa84f][b]verde[/b][/color].[/*][/list]
¿Será posible?
Podríamos pensar que, al resolver un problema, podría aparecer cualquier número tanto en el enunciado como la solución. [br]Sin embargo, no todos son aceptables en el contexto del problema.[br][list][*]Por ejemplo, no deberíamos obtener un precio negativo, o una cantidad "con decimales" de personas. Es buena costumbre hacer esas pequeñas comprobaciones, por si hemos cometido algún error en el proceso de resolución.[/*][*]También puede ocurrir que, en alguno de esos problemas, aparezcan datos poco realistas. Por ejemplo, un precio demasiado bajo/alto. Cuando nos aparezca algún problema así, antes de mostrar nuestros resultados al profesor, anotaremos junto al problema:[br][list=1][*]Cuál es el dato del problema que no te ha parecido realista.[/*][*]Entre qué valores debería estar comprendido ese dato.[/*][/list][/*][/list]
Ojo con la regla de tres
Cuando resolvemos estos problemas, debemos tener cuidado de no caer en dos posibles trampas:[br][list=1][*]Pensar que todos los problemas se resuelven mediante proporcionalidad ¡no es así! [br][b]La proporcionalidad es solamente uno de los [url=https://www.geogebra.org/m/wxmyfaek]tipos de relación[/url] que podemos encontrar[/b].[/*][*]Intentar memorizar una regla para obtener el resultado directamente, sin razonar.[/*][/list][list][*]Es bueno conocer la regla de tres porque ha sido muy utilizada "históricamente"; tanto, que hasta ha trascendido al lenguaje cotidiano.[br]Pero [b]no se deben memorizar trucos[/b] que no estamos seguros de por qué funcionan para resolver estos problemas.[/*][*]Si te fijas en el applet, lo que principalmente se usa de la regla de tres es para plantear el problema, disponiendo los datos en forma de tabla.[br]En lugar de aprender directamente qué cuentas hacer a partir de ahí, deberíamos ser capaces de razonar qué hacer. Por ejemplo, resolver el problema mediante relaciones de proporcionalidad (medio, mitad, tercio...), [url=https://www.geogebra.org/m/vyvaywkz]tablas de proporcionalidad[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/ydnjfrtj]reducción a la unidad[/url], etc.[/*][*]En el applet se ha optado por utilizar el planteamiento en forma de tabla, para pasar a resolver calculando el cuarto proporcional planteando una igualdad entre proporciones, como podríamos hacer cuando no vemos "de cabeza" el elemento que falta en una tabla de proporcionalidad.[/*][/list]
No todo es proporcionalidad
Aunque resolviendo estos ejercicios puede parecer que todo se resuelve usando proporcionalidad, eso no es cierto. Visitando [url=https://www.geogebra.org/m/wxmyfaek]esta actividad (clic aquí)[/url] veremos los diferentes tipos de relaciones entre magnitudes. Pero veamos también algunos [b]ejemplos[/b]:[br][list=1][*]Diez músicos de la banda tocan cierto pasodoble en 3 minutos. ¿Cuánto tardan en tocarlo 20 músicos de la banda?[br]¡Pues también 3 minutos, pues ese es el tiempo que dura el pasodoble![br][/*][*]Si una persona tarda 10 minutos en recorrer el paseo marítimo, ¿cuánto tardan dos personas?[br]Pues lo normal es que tarden también 10 minutos, a no ser que vayan hablando y eso haga que caminen más deprisa o más despacio, o bien que una vaya más rápido que otra porque camina a diferente velocidad...[/*][*]Un cuadrado mide 3 metros de lado, así que su área es 9m[sup]2[/sup]. ¿Cuál será el área de un cuadrado de 6 metros de lado?[br]Pues [b]NO[/b] es 9·2=18m[sup]2[/sup], sino 9✕9=81m[sup]2[/sup], porque el área no es proporcional a la longitud del lado.[br][/*][/list]
Reparto proporcional. Problemas
Situación de ejemplo
Ana y Pedro han ganado 15€ haciendo de canguro para sus tíos. Pero Ana estuvo [i]2 horas[/i] y Pedro solo [i]1 hora[/i].[br][list][*]¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno? ¿Deberían repartirlo a partes iguales?[/*][*]Quizás, Ana deba recibir el doble que Pedro porque trabajó el doble que él. ¿Qué tal Ana 10€ y Pedro 5€?[br]Si es así, es un reparto proporcional al tiempo que trabajó cada uno.[/*][/list]Con la siguiente actividad aprenderemos cómo hacer este tipo de reparto.
Instrucciones
[list][*]Para aprender a realizar el reparto proporcional, podemos usar el botón "pista" para ver cómo se resuelven algunos ejemplos, con explicaciones paso a paso.[br][/*][*]Para resolver los problemas, hay que leer atentamente los enunciados y hacer los cálculos en el cuaderno. Después, se introducen los resultados en las casillas correspondientes.[/*][*]Cada ejercicio correcto vale 2.5 puntos, si se utiliza una pista, 1.5 puntos; si se usan 2 pistas, 0.5 puntos. Los incorrectos no penalizan.[/*][*]Podemos hacer tantos problemas como queramos.[br][/*][/list]
Minirreto
Un equipo de 8 chicas juega un partido de baloncesto, que consta de 4 tiempos de 10 min.[br]En todo momento, 5 están en la pista y 3 en el banquillo.[br][list][*]¿Cuánto tiempo debería jugar en total cada una, para que todas jueguen la misma cantidad de minutos?[/*][*]¿Cuánto pasan en el banquillo?[/*][/list]
Si nos fijamos, esta situación se corresponde con un reparto proporcional, donde todas las chicas deben recibir la misma cantidad de... [br]Elegir el elemento y la cantidad que hay disponible a repartir es la clave para resolver el problema.[br]A partir de ahí, elegiremos el método que más nos interese para resolverlo. Como en otras ocasiones, la regla de tres o similares nos lleva a la solución, pero es el método más lento. Suele ser más rápido un método similar a la reducción a la unidad.[br][list][*]En este caso, no se ha especificado que alguna chica deba jugar el doble de tiempo, la mitad, etc., con lo que la solución es más sencillas, al repartir a partes iguales.[/*][*]Pero podría haberse planteado que se hiciese proporcionalmente a, por ejemplo, los entrenamientos a los que han asistido, el esfuerzo realizado (según unas marcas establecidas en esos entrenamientos, etc.), establecer que las 5 [b]titulares[/b] deben jugar el doble de tiempo que las tres suplentes, o alguna condición similar.[/*][/list][b]Solución[/b]:[br][list][*]La cantidad a repartir es el tiempo total de partido. Pero no son solo los 40 minutos que hay entre los 4 tiempos, sino los 40·5=200 minutos totales, pues hay 5 jugadoras.[/*][*]Así pues, 200 minutos repartidos entre 8 jugadoras resulta 200:8=25 minutos jugando cada una.[br]Y por tanto, serán 15 minutos en el banquillo.[/*][*]En el caso del reparto proporcional, deberíamos sumar primero los entrenamientos a los que han asistido entre todas y dividir 200 entre ese número total. Luego ya, para calcular los minutos de cada jugadora, multiplicamos ese resultado por el número de entrenamientos a los que asistió cada una.[/*][/list]