On a une maladie et un test de dépistage de cette maladie pour lesquels on connait :[br][list][*][b]la [color=#38761d]sensibilité[/color] : [/b]probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade.[/*][*][b]la [color=#0000ff]spécificité[/color] : [/b]probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'est pas malade.[br][br][/*][/list]On veut naturellement que ces probabilités soient proches de 1 pour un bon test. Ces deux probabilités peuvent être ajustées avec les cercles verts et bleus dans le panneau de gauche. On visualise dans le panneau de droite comment varient :[list][*][b][color=#980000]la valeur prédictive positive (VPP)[/color] : [/b]probabilité qu'une personne ayant un test positif soit malade.[/*][*][b][color=#ff7700]la valeur prédictive négative (VPN)[/color] : [/b]probabilité qu'une personne ayant un test négatif ne soit pas malade.[/*][/list]en fonction de la [b][color=#ff0000]prévalence[/color][/b] de la maladie, c'est à dire de la part de malades dans la population à laquelle appartient la personne testée.

On choisit une personne au hasard dans une population pour laquelle la prévalence est connue. On note :[br][list][*]M : "la personne est malade"[/*][*]T : "le test est positif"[/*][/list]La valeur prédictive positive (VPP) dépend uniquement de la sensibilité et de la spécificité du test ainsi que de la prévalence. En effet, avec les notations des probabilités conditionnelles on a :[br][math]VPP=P_T(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{P\left(M\right)\times P_M(T)}{P(M\cap T)+P\left(\overline{M}\cap T\right)}=\frac{P\left(M\right)\times P_M(T)}{P\left(M\right)\times P_M\left(T\right)+P\left(\overline{M}\right)\times P_{\overline{M}}\left(T\right)}[/math][br]En tenant compte de [math]P\left(\overline{M}\right)=1-P(M)[/math] et [math]P_{\overline{M}}\left(T\right)=1-P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)[/math], on a donc :[br][math]VPP=\frac{P\left(M\right)\times P_M(T)}{P\left(M\right)\times P_M\left(T\right)+\left(1-P\left(M\right)\right)\times\left(1-P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)\right)}[/math][br]En regroupant P(M) au dénominateur on obtient :[br][math]VPP=\frac{P\left(M\right)\times P_M(T)}{P\left(M\right)\times\left[P_M\left(T\right)+P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)-1\right]+1-P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)}[/math][br]Ce qui s'écrit en reconnaissant prévalence, sensibilité et spécificité :[br][math]\boxed{VPP=\frac{\text{prévalence}\times \text{sensibilité}}{\text{prévalence}\times (\text{sensibilité}+\text{spécificité}-1)+1-\text{spécificité}}}[/math][br]Ce qui est une fonction homographique de la prévalence, croissante sur [0,1], valant 0 en 0 et 1 en 1, et qui est représentée en rouge foncé dans le panneau de droite.[br]De la même manière on peut établir que la valeur prédictive négative (VPN) est :[br][math]VPN=\frac{(1-\text{prévalence})\times\text{spécificité}}{\text{spécificité}-\text{prévalence}\times(\text{sensibilité}+\text{spécificité}-1)}[/math]