Passo 1: Sia dato il triangolo in figura, rettangolo in [math]A[/math][br]Passo 2: Introduciamo un sistema di riferimento cartesiano con origine in [math]B[/math] ed asse [math]x[/math] orientato come [math]\overline{AB}[/math], ed in esso rappresentiamo la circonferenza goniometrica, potendo supporre senza perdere di generalità che [math]\overline{BC} > 1[/math].[br]Passo 3: Consideriamo ora il punto [math]P[/math], estremo libero di [math]\beta[/math] e la sua proiezione [math]H[/math] sull'asse [math]x[/math]. Essendo [math]\beta[/math] acuto, si avrà, per definizione: [math]\overline{BP}=1[/math], [math]\overline{HB}=\cos \beta[/math] e [math]\overline{PH}=\sin \beta[/math]. Ora, per l'evidente similitudine dei triangoli [math]ABC[/math] e [math]HBP[/math], si ha[br][br][list=1][br][*][math]\frac{\overline{AB}}{\overline{HB}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{BP}} \Rightarrow \frac{c}{\cos \beta} =\frac{a}{1} \Rightarrow [/math] [b][color=#c51414][math]c=a \cos \beta[/math][/color][/b] cioè: [i][b]Un cateto è uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente[/b][/i][br][*][math]\frac{\overline{AC}}{\overline{HP}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{BP}} \Rightarrow \frac{b}{\sin \beta} =\frac{a}{1} \Rightarrow [/math] [b][color=#c51414][math] b=a \sin \beta[/math][/color][/b] cioè: [i][b]Un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto[/b][/i][br][*][math]\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{PH}}{\overline{HB}} \Rightarrow \frac{\sin \beta}{\cos \beta} =\frac{b}{c} \Rightarrow [/math] [b][color=#c51414][math] b=c \tan \beta[/math][/color][/b] cioè: [i][b]Un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto[/b][/i][br][br][/list]