Die Exponentialfunktion

1. Untersuchung der Standard-Exponentialfunktion

[b]Aufgabe[/b][br]Beschreibe die Eigenschaften der Exponentialfunktion y =[math]a^x[/math] für verschiedene Wachstumswerte a.

Monotonieverhalten

Wie ändert sich das Monotonieverhalten von f(x) = a^x in Abhängigkeit vom Wachstumsfaktor a?

Wenn a > 1 ist, dann ist f monoton fallend. Wenn a > 1 ist, dann ist f monoton steigend. Wenn 0 < a < 1 ist, dann ist f monoton fallend. Wenn 0 < a < 1 ist, dann ist f monoton steigend.

Asymptotisches Verhalten

Welche Asymptote besitzen alle Exponentialfunktionen?

Die x-Achse: y = 0 Die y-Achse: x = 0 Keine. Der Graph besitzt keine Asymptoten. Die Gerade: y = 1

Sonderfall

Welcher Graph ergibt sich für a = 0?

Die lineare Funktion y = x Die konstante Funktion y = 0 Eine konstante Funktion x = 0 Die konstante Funktion y = 1

Definitionsbereich der Funktion f(x) = 0^x

Welchen Definitionsbereich hat die Funktion f(x) = 0^x? Prüfe auch mit dem Taschenrechner nach!

D = IR\{1} D = IR\{0} D = IR

2. Welche Werte sind für den Wachstumsfaktor erlaubt?

Das obige Applet lässt für a nur nicht-negative Werte zu. Warum?[br][br]Der Grund liegt daran, dass Potenzen der Form [math]a^x[/math] für alle x definiert sind, wenn die Basis a nicht negativ ist. Das ist für negative Basen nicht uneingeschränkt richtig.[br][br]Beispiel: (-1)^0 = 1 ; (-1)^1 = -1 ; (-1)² = 1 ; (-1)^3 = -1.[br]Ist die Basis negativ, so "springt" die Funktion von positiv zu negativ. Außerdem:[br][math]\left(-1\right)^{0,5}[/math] = √-1 ist im reellen Zahlenbereich kein definierter Ausdruck.

Definierte Exponentialfunktionen

Welche Funktion ist nicht definiert?

[math]f\left(x\right)=2^{-x}[/math] [math]f\left(x\right)=\left(2^{-1}\right)^x[/math] [math]f\left(x\right)=\left(-2\right)^x[/math] [math]f\left(x\right)=-2^x[/math]

3. Abhängigkeit vom Vorfaktor b und vom Wachstumsfaktor a

Untersuche den Graphen in Abhängigkeit der Formkonstanten a und b.

Wie muss ich die Parameter a und b verändern, damit die Exponentialfunktion monoton steigend ist?

b < 0 und a > 1 b > 0 und a < 1 b > 0 und a > 1 b < 0 und a < 1

Setze den Schieberegler b auf 2. Wie muss der Wachstumsfaktor a gesetzt werden, so dass f(2) = 4 ein Funktionswert ist?

a ≈ 1/1.41 a ≈ 1,41 a = 2 a = 1/2

4. Symmetrische Graphen

Vergleiche die Schaubilder. Was stellst du fest:[br] für [math]a_1[/math] = 2 und [math]a_2[/math] = 0,5 = 1/2[br] für [math]a_1[/math]= 4 und [math]a_2[/math]= 0,25 = 1/4[br] für [math]a_1[/math] = 0,2 = 1/5 und [math]a_2[/math] = 5

Die Graphen sind nicht symmetrisch. Die Graphen sind achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse. Die Graphen sind achsensymmetrisch bzgl. der x-Achse. Die Graphen sind zueinander punktsymmetrisch.

Graphen-Applet

Schlussfragen:

Wie müsste eine Funktionsterm lauten, wenn das Schaubild um 4 Einheiten nach unten (in y-Richtung) verschoben wäre?[br]Wie müsste eine Funktionsterm lauten, wenn das Schaubild um 2 Einheiten nach links (in X-Richtung) verschoben wäre?