[br][size=150][b][u][color=#1e84cc]Teoría local de curvas[br][/color][/u][/b][/size][br]Llamamos curva parametrizada a una función [math]C^{1}[/math] de un intervalo [math][a,b][/math] en [math]\mathbb{R}^{3}[/math],[br][br][math][br]\alpha(\lambda):[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^{3}.[br][/math][br] [br]Naturalmente que [math]\alpha(\lambda)[/math] se especifica por las tres funciones [math]C^{1}[/math], es decir, [math]\alpha(\lambda)=(x(\lambda),y(\lambda),z(\lambda))[/math].[br][br]Se llama traza de la curva al recorrido o imagen de [math]\alpha[/math] es decir, [br][br][math][br]{\rm Traza}(\alpha)=\{\alpha(\lambda):\lambda\in [a,b]\}.[br][/math][br][br]Es usual confundir "curva parametrizada" con "traza", pero realmente no son el mismo concepto. La traza es un conjunto de [math]\mathbb{R}^{3}[/math], la curva parametrizada es una función cuyo imagen es la traza.[br][br]Una reparametrización de una curva parametrizada, implica recorrer la traza de otra "manera" a la dada originalmente. Concretamente, si, [br][br][math][br]\lambda(\mu):[c,d]\rightarrow [a,b],[br][/math][br][br]es [math]C^{1}[/math] con [math]d\lambda(\mu)/d\mu\neq 0[/math], es decir, estríctamente creciente si [math]d\lambda(\mu)/d\mu>0[/math] o estríctamente decreciente si [math]d\lambda(\mu)/d\mu<0[/math], entonces, [br][br][math]\alpha(\lambda(\mu)):[c,d]\rightarrow \mathbb{R}^{3}[/math] es una reparametrización de [math]\alpha(\lambda)[/math].[br][br]Note que en las condiciones anteriores [math]\lambda(\mu)[/math] es una función invertible con inversa [math]\mu(\lambda):[a,b]\rightarrow [c,d][/math], [math]C^{1}[/math].[br][br][color=#ff7700][b]Ejemplo.[/b] [/color]La curva [math]\alpha:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}^{3}[/math] dada por,[br][br][math][br]\alpha(\lambda)=(\cos \lambda, 2\sin \lambda, \cos \lambda),[br][/math][br][br]es una curva parametrizada que comienza en el punto [math](1,0,1)[/math] cuando [math]\lambda=0[/math] y termina en el mismo punto cuando [math]\lambda=2\pi[/math]. Considere la función,[br][br][math][br]\lambda(\mu):[0,2\pi]\rightarrow [0,2\pi],[br][/math][br][br]dada por, [math]\lambda(\mu)=2\pi-\mu[/math]. La curva [math]\alpha(\lambda(\mu))[/math] es una reparametrización de [math]\alpha(\lambda)[/math], tiene por tanto la misma traza, pero es recorrida en sentido opuesto. Si en vez reparametrizamos a [math][0,2\pi][/math] con,[br][br][math][br]\lambda(\mu):[0,\pi]\rightarrow [0,2\pi],[br][/math][br][br]dada por [math]\lambda(\mu)=2\mu[/math], el resultado, [math]\alpha(\lambda(\mu))[/math] tiene la misma traza, no hay un cambio en la dirección en que se recorre, pero se transita al doble de la velocidad de la curva inicial.[br][br]Cambiar la parametización es cambiar la velocidad a la que la curva es recorrida, y ocasionalmente, cambiar también la dirección.[br][br]Al parámetro de la curva (cualquiera sea la letra con la que se denote) se le llama a menudo "tiempo" aunque corresponda o no a un tiempo físico.[br][br]El movimiento de partículas puntuales en el espacio está descrito por una curva parametrizada que usualmente (en la literatura de Física) se denota como, [math]\vec{\bf x}(t)[/math], es decir con un signo de vector superior. La ecuación de Newton es una ecuación que determina la trayectoria de la partícula,[br][br][math][br]\vec{F}(\vec{{\bf x}}(t))=m\frac{d^{2}\vec{\bf x}}{dt^{2}}.[br][/math][br][br]Aquí, [math]d^{2}\vec{\bf x}/dt^{2}[/math] es la aceleración de la partícula. La velocidad es la derivada primera de la posición es decir [math]d\vec{\bf x}/dt[/math].[br][br][size=150][b][u][color=#1e84cc]Logitud de arco.[br][/color][/u][/b][/size][br]La longitud de una curva parametrizada se determina por la fórmula,[br][br][math][br]L=\int_{a}^{b}\|\alpha'(\lambda)\|d\lambda.[br][/math][br][br]Esta fórmula, que se deduce de un proceso aproximativo por poligonales, es invariante por reparametrizaciones. En cierto sentido es una medida de la extensión de la traza. De hecho, si,[br][br][math][br]\lambda(\mu):[c,d]\rightarrow [a,b],[br][/math][br][br]es una reparametrización, entonces, por la regla de la cadena,[br][br][math][br]\frac{d\alpha(\lambda(\mu)))}{d\mu}=\frac{d\alpha}{d\lambda}\frac{d\lambda}{d\mu},[br][/math][br][br]por lo que,[br][br][math][br]\|\frac{d\alpha(\lambda(\mu)))}{d\mu}\|=\|\frac{d\alpha(\lambda)}{d\lambda}\||\frac{d\lambda}{d\mu}|,[br][/math][br][br]de donde deducimos que,[br][br][math][br]\int_{c}^{d} \|\frac{d\alpha(\lambda(\mu))}{d\mu}\|d\mu=\int_{c}^{d}\|\alpha'(\lambda)\||\lambda'(\mu)|d\mu = \int_{a}^{b}\|\frac{d\alpha}{d\lambda}\|d\lambda,[br][/math][br][br]donde en el último paso usamos el teorema de cambio de variable bajo el signo de integración.[br][br]La fórmula para la longitud nos permite definir la función longitud, [br][br][math][br]s(\lambda):[a,b]\rightarrow [0,L],[br][/math][br][br]donde [math]s(\lambda)[/math] es igual a la longitud de [math]\alpha[/math] entre [math]a[/math] y [math]\lambda\in [a,b][/math]. Es decir,[br][br][math][br]s(\lambda)=\int_{a}^{\lambda}\|\alpha'(\bar{\lambda})\|d\bar{\lambda}.[br][/math][br][br]Observamos que, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos,[br][br][math][br]\frac{ds}{d\lambda}=\|\alpha'(\lambda)\|.[br][/math][br][br]De aquí que si [math]\alpha'(\lambda)\neq 0[/math] para todo [math]\lambda\in [a,b][/math], es decir si la velocidad de [math]\alpha(\lambda)[/math] no es cero, entonces, [math]s'(\lambda)>0[/math] para todo [math]\lambda\in [a,b][/math]. Por lo tanto la función [math]s:[a,b]\rightarrow [0,L][/math] es estríctamente creciente y tiene inversa [math]C^{1}[/math] que denotamos como [math]\lambda(s):[0,L]\rightarrow [a,b][/math]. Por supuesto tenemos,[br][br][math][br]\frac{d\lambda}{ds}=\frac{1}{\|\alpha'(\lambda)\|}.[br][/math][br][br]Podemos usar entonces a [math]\lambda(s)[/math] como una reparametrización de la curva. La virtud de dicha reparametrización es que recorre a la curva con velocidad igual a [math]1[/math]. Este se desprende de,[br][br][math][br]\|\frac{d\alpha(\lambda(s))}{ds}\|=\|\frac{d\alpha(\lambda(s))}{d\lambda}\||\frac{d\lambda(s)}{ds}|=1.[br][/math][br][br][size=150][b][u][color=#1e84cc]Curvatura y torsión.[/color][/u][/b][/size][br][br]De ahora en más asumimos que la velocidad de la curva con la que estamos trabajando no es nunca cero y está parametrizada por la longitud de arco, es decir [math]\alpha=\alpha(s)[/math]. [br][br]Denotemos como [math]\vec{t}(s)=d\alpha/ds[/math] al vector velocidad de la curva. De la sección anterior sabemos que [math]\vec{t}[/math] tiene módulo igual a uno. Por lo tanto,[br][br][math][br]\langle \vec{t}(s),\vec{t}(s)\rangle=x'(s)^{2}+y'(s)^{2}+z'(s)^{2}=1,[br][/math][br][br]para todo [math]s\in [0,L][/math]. Derivando esta expresión nuevamente tenemos,[br][br][math][br]2(x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)+z'(s)z''(s))=0[br][/math][br][br]y de aquí que el producto interno entre [math]\alpha'=(x',y',z')[/math] y [math]\alpha''=(x'',y'',z'')[/math], es decir, entre la velocidad y la aceleración, es igual a cero. La velocidad y la aceleración son por lo tanto perpendiculares. [br][br]Definimos la curvatura [math]\kappa(s)[/math] de la curva en el punto [math]\alpha(s)[/math] como el módulo de la aceleración, es decir,[br][br][math][br]\kappa(s)=\|\alpha''(s)\|.[br][/math][br][br]Por ejemplo, la curva,[br][br][math][br]s\rightarrow R(\cos \frac{s}{R},\sin \frac{s}{R}),[br][/math][br][br]parametriza la circunsferencia de centro el origen y radio uno. La velocidad es, [br][br][math][br]\vec{t}(s)=(-\sin\frac{s}{R},\cos \frac{s}{R})[br][/math],[br][br]y la aceleración es,[br][br][math][br]\vec{t}'(s)=-\frac{1}{R}(\cos\frac{s}{R},\sin\frac{s}{R}).[br][/math][br][br]Claramente la aceleración y la velocidad son perpendiculares. Además la aceleración apunta hacia el centro de la circunsferencia (el origen), y tiene módulo igual a [math]1/R[/math]. La curvatura es por lo tanto constante e igual a [math]\kappa=1/R[/math]. Cuanto más pequeño es el radio más grande el la curvatura de la curva.[br][br]Supongamos ahora que la curvatura [math]\kappa(s)[/math] no es cero en ningún punto de la curva. Definimos entonces el vector normal [math]\vec{n}(s)[/math] como, [br][br][math][br]\vec{n}(s)=\frac{\alpha''}{\|\alpha''\|}.[br][/math] [br][br]Es decir [math]\vec{n}(s)=\vec{t}(s)/\kappa(s)[/math]. El vector normal es un vector unitario (de módulo uno) y perpendicular al vector velocidad, por lo tanto perpendicular a la curva. Observe nuevamente que para que [math]\vec{n}(s)[/math] esté bien definido la curvatura en [math]\alpha(s)[/math] no puede ser cero, algo que asumimos al inicio.[br][br]En estas condiciones, definimos el vector binormal como [math]\vec{b}(s)=\vec{t}(s)\wedge \vec{n}(s)[/math] es decir, como el producto vectorial entre [math]\vec{t}(s)[/math] y [math]\vec{n}(s)[/math]. El vector binormal es también unitario. La base [math]\{\vec{t}(s),\vec{n}(s),\vec{b}(s)\}[/math] es ortonormal y se conoce como el triedro de Frenet. [br][br]El siguiente ejemplo muestra el triedro de Frenet a lo largo de una curva particular.

Para simplificar la notación, a veces se omite la dependencia en [math]s[/math] de los vectores del triedro, es decir se escribe por ejemplo [math]\vec{t}[/math] en vez de [math]\vec{t}(s)[/math]. Usamos esa notación en la líneas debajo.[br][br]Calculemos la derivada del vector binormal. Tenemos,[br][br][math][br]\frac{d\vec{b}}{ds}=\frac{d}{ds}\vec{t}\wedge \vec{n}=\frac{d\vec{t}}{ds}\wedge \vec{n}+\vec{t}\wedge \frac{d\vec n}{ds}.[br][/math][br][br]Ahora, [math]d\vec{t}/ds=\kappa(s)\vec{n}[/math] por lo que [math]d\vec{t}/ds\wedge \vec{n}=\kappa \vec{n}\wedge \vec{n}=0[/math] ya que el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero. Por otro lado como [math]\vec{n}(s)[/math] es un vector unitario, es decir de norma o módulo uno, para todo [math]s[/math], su derivada es perpendicular a sí mismo. De aquí que [math]d\vec{n}/ds[/math] es una combinación lineal de [math]\vec{t}[/math] y [math]\vec{b}[/math]. Escribimos por lo tanto,[br][br][math][br]\frac{d\vec{n}}{ds}=\chi(s)\vec{t}+\tau(s)\vec{b}.[br][/math][br][br]para ciertos coeficientes [math]\chi(s)[/math] y [math]\tau(s)[/math] que naturalmente dependen de [math]s[/math].[br][br]Por lo tanto, [br][br][math][br]\vec{t}\wedge \frac{d\vec{n}}{ds}=-\tau(s)\vec{b},[br][/math][br][br]ya que [math]\vec{t}\wedge\vec{t}=0[/math]. El coeficiente [math]\tau(s)[/math] se denomina torsión.[br][br]Finalmente calculamos la derivada de [math]\vec{n}[/math] notando que [math]\vec{n}=\vec{b}\wedge \vec{t}[/math]. Por lo tanto,[br][br][math][br]\frac{d\vec{n}}{ds}=\frac{d}{ds}\vec{b}\wedge \vec{t}=\frac{d\vec{b}}{ds}\wedge \vec{t}+\vec{b}\wedge \frac{d\vec{t}}{ds}=-\tau \vec{n}\wedge \vec{t}+\kappa \vec{b}\wedge \vec{n}=\tau\vec{b}-\kappa \vec{t}[br][/math][br][br]Las fórmulas,[br][br][math][br]\left\{[br]\begin{align}[br]& \vec{t}'=\kappa \vec{n},\\[br]& \vec{n}'=-\kappa \vec{t}+ \tau \vec{b},\\[br]& \vec{b}'=\tau\vec{n},[br]\end{align}[br]\right.[br][/math][br][br]se conocen como las fórmulas de Frenet-Serret. Usadas recursivamente permiten calcular cualquier número de derivadas de dichos vectores en términos de la curvatura, la torsión y de sus derivadas.[br][br]Podemos usar estas ecuaciones para calcular el desarrollo de Taylor de una curva alrededor de un punto, en términos de la longitud de arco calculada desde ese punto. Veamos esto y saquemos algunas conclusiones.[br][br]Consideremos una curva [math]\alpha(s)[/math] parametrizada por longitud de arco [math]s[/math]. El desarrollo de Taylor a orden tres de [math]\alpha(s)[/math] en [math]s_{0}[/math] es,[br][br](1)[math][br]\quad \alpha(s)=\alpha(s_{0})+\alpha'(s_{0})(s-s_{0})+\frac{\alpha''(s_{0})}{2}(s-s_{0})^{2}+\frac{\alpha'''(s_{0})}{6}(s-s_{0})^{3}+R_{4}(s)[br][/math][br][br]Ahora calculamos,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& \alpha'(s_{0})=\vec{t}(s_{0}),\\[br]& \alpha''(s_{0})=\kappa(s_{0})\vec{n}(s_{0}),\\[br]& \alpha'''(s_{0})=\kappa'(s_{0})\vec{n}(s_{0})+\kappa(s_{0})(-\kappa(s_{0})\vec{t}(s_{0})+ \tau(s_{0})\vec{b}(s_{0}))[br]\end{align}[br][/math][br][br]Reemplazando estas fórmulas en (1) y reagrupando los términos tenemos,[br][br][math][br]\alpha(s)=\alpha(s_{0}) + \left((s-s_{0})-\frac{1}{6}\kappa(s_{0})^{2}(s-s_{0})^{2}\right)\vec{t}(s_{0})+\left(\frac{1}{2}\kappa(s_{0})(s-s_{0})^{2}+\frac{1}{6}\kappa'(s_{0})(s-s_{0})^{3}\right)\vec{n}(s_{0})+\left(\frac{1}{6}\kappa(s_{0})\tau(s_{0})(s-s_{0})^{3}\right)\vec{b}(s_{0})+R_{4}(s)[br][/math][br][br]La componente en la dirección de la binormal en [math]s_{0}[/math], [math]\vec{b}(s_{0})[/math], es de orden tres. Es decir que a orden dos la curva se mueve en el plano formado por [math]\vec{t}(s_{0})[/math] y [math]\vec{n}(s_{0})[/math]. Ese plano se denomina plano osculador. Este fenómeno donde la curva permanece en el plano osculador a orden dos puede apreciarse en la simulación anterior, e inspeccionando la ubicación de la curva en relación a dicho plano.[br][br]Un simple argumento usando el desarrollo de Taylor y que dejamos como ejercicio muestra que la circunsferencia en el plano osculador, de centro [math]\alpha(s_{0})+\vec{n}(s_{0})/\kappa(s_{0})[/math] y radio [math]1/\kappa(s_{0})[/math] aproxima a la curva en un entorno de [math]\alpha(s_{0})[/math] hasta orden dos. En otras palabras, a orden dos, toda curva con [math]\kappa\neq 0[/math] es localmente aproximada por una circunsferencia. Dicha cirumsferencia se denomina circunsferencia osculatriz.[br][br]Para terminar esta sección, observemos una fórmula para el cálculo de la torsión. Sabemos que la curvatura se calcula como [math]\kappa=\|\alpha'\|[/math]. La torsión puede calcularse en términos de las primeras tres derivadas de [math]\alpha[/math] del siguiente modo,[br][br][math][br]\tau=\frac{(\alpha',\alpha'',\alpha''')}{\kappa^{2}}[br][/math][br][br]donde [math](\alpha',\alpha'',\alpha''')[/math] es el producto mixto entre [math]\alpha',\ \alpha''[/math] y [math]\alpha'''[/math], esto es [math](\alpha',\alpha'',\alpha''')=\langle \alpha'\wedge \alpha'',\alpha'''\rangle[/math].[br][br]Para probar esta fórmula hacemos el siguiente cálculo,[br][br][math][br](\alpha',\alpha'',\alpha''')=\langle \vec{t}\wedge (\kappa \vec{n}),\kappa'\vec{n}+\kappa(-\kappa \vec{t}+\tau\vec{b})\rangle=-\kappa^{2}\tau\langle \vec{t}\wedge \vec{n},\vec{b}\rangle=\kappa^{2}\tau[br][/math][br][br]donde usamos que [math]\vec{t}\wedge \vec{n}=\vec{b}[/math] y por lo tanto perpendicular a [math]\vec{t}[/math] y [math]\vec{n}[/math].