Esferas de Dandelin
Demostración de las propiedades que caracterizan a las cónicas como lugares geométricos.
Table of Contents
- Secciones cónicas
- Secciones cónicas
- Focos y directrices
- La elipse
- La elipse
- La parábola
- La parábola
- La hipérbola
- Hipérbola
Secciones cónicas
Se llaman [b]cónicas[/b] a las curvas que se obtienen como intersección de un plano con una superficie cónica.[br][br]En la imagen puede modificarse la inclinación del plano con el control λ.[br][br][list][*]Si λ = 0, el plano es perpendicular al eje del cono y la cónica obtenida es una [b]circunferencia[/b], como puede verse volteando el cono hacia el observador.[/*][/list][list][*]Si 0 < λ < 1, la cónica obtenida es una [b]elipse[/b].[/*][/list][list][*]Si λ = 1, la cónica es una [b]parábola[/b].[/*][/list][list][*]Si λ > 1, la cónica tiene dos ramas separadas y se denomina [b]hipérbola[/b]. Al alejarse del centro, las ramas de la hipérbola se van aproximando progresivamente a la generatriz del cono y cada vez se parecen más a una línea recta. Las rectas a las que se aproximan se denominan [b]asíntotas[/b].[br][/*][/list]
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La elipse
La [b]elipse[/b] es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, a los que llamaremos [b]focos[/b], es constante.[br][br]Observa la imagen. Sobre la elipse hemos marcado un punto P que puede moverse a lo largo de la curva. Los segmentos PF[sub]1[/sub] y PF[sub]2[/sub] se denominan [b]radios vectores[/b] del punto y sus longitudes son las distancias de ese punto a cada uno de los focos.[br][br]Observa que el segmento PF[sub]1[/sub] tiene la misma longitud que el segmento PA, pues ambos son tangentes a la esfera pequeña. Lo mismo sucede con los segmentos PF[sub]2[/sub] y PB con la esfera grande.[br][br]Por lo tanto, [br][br][center][size=150][size=200]PF[sub]1[/sub] + PF[sub]2[/sub] = PA + PB[/size][/size][/center]Pero los puntos, A, P, B están alineados y el segmento AB está en la generatriz del cono. Como se puede observar moviendo el punto P, El segmento AB tiene longitud constante, porque las dos circunferencia que une son paralelas. [br][br]Es decir[br][size=150][size=200][center]PF[sub]1[/sub] + PF[sub]2[/sub] = PA + PB = constante[size=150][size=200][size=100][br][i]Usa la ventana de la izquierda para mostrar u ocultar elementos de la imagen.[/i][/size][i][/i][/size][/size][/center][/size][/size]
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La parábola
La [b]parábola[/b] es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, al que llamaremos [b]foco[/b], y de una recta fija a la que llamaremos [b]directriz[/b].[br][br]En la imagen se muestra la parábola. Esta curva se forma cuando el plano que corta a la superficie cónica es paralelo a una de sus generatrices. En la imagen podemos ver el foco, punto de tangencia del plano con la esfera, y la directriz, recta de intersección entre el plano original y el plano que contiene a la circunferencia de tangencia entre esfera y cono.[br][br]Los segmentos PF y PD son iguales por ser tangentes a la esfera.[br][br]El segmento PB (perpendicular al plano que contiene a la circunferencia) es paralelo al eje del cono, por lo tanto el ángulo BPD es igual al ángulo que forman el eje del cono y la generatriz del cono.[br][br]Como el plano inicial, en el caso de la parábola, es paralelo a la generatriz del cono, [br][center][size=150][size=200][br]ángulo BPD = ángulo BPA[/size][/size][/center][br]y como los triángulos BPD y BPA comparten un lado, son iguales. Así pues[br][br][center][size=200]PA = PD = PF[/size][/center]
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Hipérbola
La [b]hipérbola[/b] se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados [b]focos[/b], es constante.[br][br]En la imagen los segmentos [b]PF[sub]1[/sub] y PF[sub]2[/sub][/b] son los radios vectores.[br][br][center][b]PF[sub]1[/sub] = PA[/b][/center]porque son segmentos tangentes a la esfera de arriba.[br][br][b][center]PF[sub]2[/sub] = PB[/center][/b]porque son segmentos tangentes a la esfera de abajo. Por lo tanto:[br][br][b][center]PF[sub]1[/sub] - PF[sub]2[/sub] = PA - PB = AB[/center][/b][br][br]Como este último segmento es el trozo de generatriz del cono que une ambas circunferencia paralelas, su longitud es constante.
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