Geometrische Darstellungen
Geometrische Darstellungen
Table of Contents
- Aufgabe 1: Beweis Mittenviereck
- Beweis Mittenviereck
- Aufgabe 2: Der Satz von Varignon
- Satz von Varignon
- Aufgabe 3: Parameterform einer Geraden
- Parameterform einer Geraden
- Normalvektoren
- Normalvektoren
Beweis Mittenviereck
Alle [b]Schwerlinien[/b] des Dreiecks ABC [b]schneiden [/b]sich im Punkt [b]S[/b], dem [b]Schwerpunkt[/b]. [br]Bilde den Quotienten der beiden Teile der Schwerlinie einer Seite und finde heraus, in welchem Verhältnis dieser die Strecke der Schwerlinie teilt! Beginne mit der Seitenlänge a und der dazugehörigen Schwerpunktlinie [math]s_a[/math]! [br]Gilt dieses Verhältnis für alle Schwerlinien?[br]Gilt dein Verhältnis auch in rechtwinkeligen, stumpfwinkeligen oder gleichseitigen Dreiecken?
Satz von Varignon
Satz von Varignon: Die Mittelpunkte eines beliebigen Vierecks bilden ein Parallelogramm.[br]Beweis: Wir bezeichnen die Eckpunkte des Parallelogramms mit [math]A,\ B,\ C,\ D\ \in\ \mathbb{A}^2[/math]. Die Mittelpunkte sind dann [math]M_1\ :=\ A\ +\ \frac{1}{2}\overrightarrow{AC},\ M_2\ :=\ A\ +\ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB},\ M_3\ :=\ D\ +\ \frac{1}{2}\overrightarrow{DB},\ M_3\ :=\ D\ +\ \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}[/math].[br]Es gilt:[br][math]\overrightarrow{M_1M_2}\ =\ (A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})\ -\ (A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC})\ =\ \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}[/math][br][math]\overrightarrow{M_4M_3}\ =\ (D+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB})\ -\ (D+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC})\ =\ \frac{1}{2}(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}[/math][br][math]\overrightarrow{M_2M_3}\ =\ (D+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB})\ -\ (A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})\ =\ D\ -\ A\ +\ \frac{1}{2}(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AD}\ +\ \frac{1}{2}\overrightarrow{DA}[/math][br][math]\overrightarrow{M_1M_4}\ =\ (D+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC})\ -\ (A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC})\ =\ D\ -\ A\ +\ \frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AD}\ +\ \frac{1}{2}\overrightarrow{DA}[/math][br]woraus wir [math]\overrightarrow{M_1M_2}\ =\ \overrightarrow{M_4M_3}[/math] und [math]\overrightarrow{M_2M_3}\ =\ \overrightarrow{M_1M_4}[/math] schließen, was uns zeigt, dass die Mittelpunkte [math]M_1,\ M_2,\ M_3[/math] und [math]M_4[/math] ein Parallelogramm bilden.