Seja [math]F[/math] a função vetorial:[center][math]F:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^m[/math][br][math]t\mapsto F\left(t\right)=\left(f_1\left(t\right),f_2\left(t\right),...,f_m\left(t\right)\right)[/math][br][/center]e seja [math]L=\left(l_1,l_2,...,l_m\right)[/math]. Suponha que [math]F[/math] está definida em um intervalo aberto contendo o ponto [math]t_0[/math] (exceto possivelmente no próprio ponto [math]t=t_0[/math]). Então, temos que:[center][math]\lim_{t\longrightarrow t_0}F\left(t\right)=L\Longleftrightarrow\lim_{t\longrightarrow t_0}f_i\left(t\right)=l_i,i=1,2,...,m[/math][/center]Portanto, pela expressão acima, temos que:[br][i]"O limite de [/i][math]F[/math][i], quando [/i][math]t[/math][i] tende a [/i][math]t_0[/math][i], existe e é igual a [/i][math]L=\left(l_1,l_2,...,l_m\right)[/math][i] se e somente se o limite de todas as suas coordenadas [/i][math]f_i,i=1,2,...,m[/math][i], quando [/i][math]t[/math][i] tende a [/i][math]t_0[/math][i], existem e são iguais a [/i][math]l_i,i=1,2,...,m[/math][i], respectivamente."[br][br]A pergunta é ... que pode acontecer se um dos limites coordenados não existir?[br][br][/i]Nesta seção apresentaremos vários exemplos de limite de função vetorial. O primeiro é o mais simples de todos, onde tudo "se comporta bem". Porém, os seguintes serão mais interessantes de se estudar. Há limite oscilante, infinito, indo para zero, e[i]tc.[/i]

Já vimos uma condição para o limite existir (limite convergente). Agora, veremos uma para que o mesmo não exista.[center][math]\lim_{t\rightarrow t_0}\left|\left|\vec{r}\left(t\right)\right|\right|=\infty\Longrightarrow[/math] não existe [math]\lim_{t\rightarrow t_0}\vec{r}\left(t\right)[/math][/center]Isto é, se o módulo do vetor posição tender ao infinito quando [math]t\rightarrow t_0[/math], então o limite da função vetorial quando [math]t\rightarrow t_0[/math] não existirá, pois não temos como representar um "vetor com uma das coordenadas (ou várias) sendo infinito", então podemos estudar o limite do vetor posição através do limite do módulo do mesmo.[br][br]Além disso, é possível que o limite não exista por ser oscilante, da mesma forma que tínhamos em Cálculo de uma variável real, quando tentávamos calcular o limite da função [math]y=sen\left(\frac{1}{x}\right)[/math] quando [math]x\rightarrow0[/math]. Ao tentar calcular o limite, nos deparávamos com uma indeterminação deste, pois a função seno oscila indefinidamente tão próxima de [math]x=0[/math] quanto se queira. Logo, é possível obtermos algo desse tipo também aqui em funções vetoriais.

Seja [math]F[/math] a função vetorial [math]F:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^m[/math] e seja [math]t_0\in I\left(aberto\right)\subseteq D[/math]. Dizemos que [math]F[/math] é contínua no ponto [math]t_0[/math], se:[center][math]\lim_{t\rightarrow t_0}F\left(t\right)=F\left(t_0\right)[/math][/center]Sendo assim, temos que:[br][i]"[/i][math]F[/math][i] é contínua em [/i][math]t_0[/math][i] se e somente se todas as funções coordenadas são contínuas em [/i][math]t_0[/math][i]."[br][br][/i]Dizemos simplesmente que [math]F[/math] é contínua se [math]F[/math] é contínua para todo [math]t[/math] em seu domínio.[br][br][list][*]O caso no qual a função é contínua não é tão interessante de visualizar geometricamente, por se comportar da maneira que gostaríamos. Portanto, abaixo você verá um exemplo de função vetorial que é descontínua. Mais precisamente, possui uma descontinuidade de salto. Na figura, estão sinalizados os limites laterais em [math]t=0[/math]. [/*][/list]

[b][i]* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*[/i][/b]