2. Exponentialfunktionen
Hier findet ihr alle Geogebradateien, die wir im Unterricht gemacht haben.
Table of Contents
- 2.1 Natürliche Exponentialfunktion und euler'sche Zahl
- GG1-Herleitung-Exponentialfunktion
- 2.2 Exponentialgleichung und natürlicher Logarithmus
- 2.3 Exponentialfunktionen und ihre Graphen
- 2.3.1 Betrachtung des Graphen von der natürlichen Exponentialfunktion
- 2.3.2 Vergleich von Exponential- und Potenzfunktionen
- 2.3.3 Betrachtung des Produkts aus Potenz- und Exponentialfunktion
- 2.3.4 Symmetrie als Eigenschaft einer Funktion
- 2.4 Wirkung von Parametern bei Exponentialfunktionen
- 2.4.1 Einführung von Parametern bei Exponentialfunktionen
- 2.4.2 Wirkung des Parameters a auf die e - Funktion
- 2.4.3 Wirkung des Parameters b auf die e - Funktion
- 2.4.4 Wirkung des Parameters c auf die e - Funktion
- 2.4.5 Wirkung des Parameters d auf die e - Funktion
- 2.4.6 Experimentieren mit der allgemeinen Form
- 2.5 Anwendung von Exponentialfunktionen
- 2.5.1 Allgemeines
- 2.5.2 Startwert eine Exponentialfunktion bestimmen.
- 2.5.3 Exponentieller Zerfall
- 2.5.4 Exponentielles Wachstum
GG1-Herleitung-Exponentialfunktion
2.3.1 Betrachtung des Graphen von der natürlichen Exponentialfunktion
Einleitung
Im folgenden Kapitel besprechen wir die natürliche Exponentialfunktion und ihre Graphen.[br]Es wir anfangs von der normalen Funktion [math]f\left(x\right)=e^x[/math] ausgegangen.
Natürliche e - Funktion
Der Punkt A wandert auf der Exponentialfunktion entlang. Mit dem Schieberegler kann man a und damit den Punkt A verschieben. Betrachten Sie die Koordinaten von A wenn man an die Grenzen von a gelangt.[br][br]Beachten Sie man sagt [math]x[/math] strebt gegen plus bzw. minus Unendlich und schreibt : [math]x\rightarrow\infty[/math] bzw. [math]x\rightarrow-\infty[/math][br][br]Beachten Sie man sagt [math]y[/math] bzw. eine Funktion [math]f\left(x\right)[/math] strebt gegen plus bzw. minus Unendlich und schreibt : [math]y\rightarrow\infty[/math]bzw. [math]y\rightarrow-\infty[/math] oder [br][math]f\left(x\right)\rightarrow\infty[/math]bzw. [math]f\left(x\right)\rightarrow-\infty[/math][br][br]Schreiben Sie diese beiden Informationen in Ihre Aufzeichnungen.[br][br]
Aufgabe 1 a)
Betrachten Sie die [math]x[/math]-Koordinate von A. Geben Sie an welchen Wert sie annimmt, wenn man den Schieberegler nach links bewegt.[br][br]Eine Antwort ist richtig!
Aufgabe 1 b)
Betrachten Sie die [math]y[/math]-Koordinate von A. Geben Sie an welchen Wert sie annimmt, wenn man den Schieberegler nach links bewegt.[br][br]Eine Antwort ist richtig!
Aufgabe 1 c)
Betrachten Sie die [math]x[/math]-Koordinate von A. Geben Sie an welchen Wert sie annimmt, wenn man den Schieberegler nach rechts bewegt.[br][br]Eine Antwort ist richtig!
Aufgabe 1 d)
Betrachten Sie die [math]y[/math]-Koordinate von A. Geben Sie an welchen Wert sie annimmt, wenn man den Schieberegler nach rechts bewegt.[br][br]Eine Antwort ist richtig!
Nun betrachten man die Funktion [math]h\left(x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{1}{e^x}=e^{-x}[/math].
Aufgabe 1 e)
Kreuzen Sie die richtigen Antworten in der Auswahl an.
2.4.1 Einführung von Parametern bei Exponentialfunktionen
Einstieg
In diesem Thema sind einige neue wichtige Begriffe, die vorher definierte werden müssen.[br][br]Bitte übernehmen Sie die folgenden Definitionen in Ihre Unterlagen.
Definition Parameter
Ein Parameter ist, ähnlich wie eine Variable, ein Platzhalter für eine Zahl. Man verwendet Parameter in der Mathematik, um mehrere Funktionen des gleichen Typs darzustellen. [br]Man kennt das zum Beispiel von quadratischen Funktionen. [math]f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math], [math]a,b[/math] und [math]c[/math] stehen dafür für alle reele Zahlen und so kann man auch allgemeine Lösungen formulieren.
Defintion Funktionenschar
Stellt man mit Hilfe von Parametern Funktionen da, erhält man eine ganze Menge an Funktionen. So eine Menge an ähnlichen Funktionen nennt man Funktionenschar.[br][br]Beachten Sie: [br][br]Eine lineare Funktion: [math]f\left(x\right)=3\cdot x-5[/math][br][br]Lineare Funktionenschar: [math]f_a\left(x\right)=3\cdot x+a.a\in\mathbb{R}[/math] unendlich viele parallele Geraden [math]\left(m=3\right)[/math] mit unterschiedlichen y-Achsenabschnitten.[br][br]Im Nachfolgenden Geogebra-Applet sehen Sie das Beispiel von [math]f_a\left(x\right)=3\cdot x+a.a\in\mathbb{R}[/math] für [math]a\in\left[-15;15\right][/math].[br]
In diesem Abschnitt 2.4 wird sich nun mit den Auswirkungen von unterschiedlichen Parametern auf die natürliche Exponentialfunktion beschäftigt.[br][br]Das Ziel ist es, aus der Funktion[math]f\left(x\right)=a\cdot e^{b\cdot\left(x-c\right)}+d[/math] die wichtigsten Eigenschaften des Graphen abzulesen und auf die vier Parameter [math]a,b,c[/math] und [math]d[/math] zurückzuführen.[br][br]In den weiteren Unterabschnitten finden Sie nun jeweils die Betrachtung der einzelnen Parametern.
2.5.1 Allgemeines
Umformung der Exponentialfunktionen
Mit Hilfe von Exponentialfunktionen kann man die unterschiedlichsten Modelle erstellen. Man kann Wachstums- oder Zerfallsprozesse beschreiben.[br][br]In diesem Abschnitt betrachtet man, dass man jede Exponentialfunktion des Typs [math]a^x[/math] mit [math]a>0[/math] in eine natürliche Exponentialfunktion umwandelt kann.
Betrachen Sie die Funktionen [math]f\left(x\right)=2^x[/math] und [math]g\left(x\right)=e^x[/math]. Nun soll untersucht werden, ob für alles [math]x[/math]-Werte [math]f\left(x\right)=g\left(x\right)[/math] gilt.[br][br]Beachten Sie die Potenz- und Logaritmusgesetze:[br][br]1) [math]log\left(a^x\right)=x\cdot log\left(a\right)[/math][br][br]2) [math]e^{ln\left(a\right)}=a[/math][br][br]3) [math]ln\left(e^a\right)=a[/math][br][br]4) [math]\left(e^a\right)^b=e^{a\cdot b}[/math][br]
Aufgabe 1 a)
Versuchen Sie die Gleichung [math]2^z=e^x[/math] so umzuformen, dass man [math]f\left(z\right)=2^z[/math] als natürliche Exponentialfunktion darstellen kann.[br][br]Zur Information: Man verwendet hier zwei Variablen (z und x), weil man offensichtlich nicht für die gleichen [math]x[/math]-Werte die gleichen Funktionswerte bekommt.[br][br]Notieren Sie ihre Herleitung in ihren Unterlagen und vergleichen Sie sie mit der Lösung.
Aufgabe 1 b)
Vergleichen Sie die Funktionswerte der drei Funktionen:[br][br][math]f\left(x\right)=2^x,g\left(x\right)=e^x[/math] und [math]h\left(x\right)=e^{ln\left(2\right)\cdot x}[/math][br][br]Mit dem Schieberegler kann man den x-Wert verändern.
Aufgabe 1 c)
Betrachten Sie die Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=3^x[/math] und wandeln Sie sie in eine natürliche Exponentialfunktion um.
Aufgabe 1 d)
Betrachten Sie die Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=10^x[/math] und wandeln Sie sie in eine natürliche Exponentialfunktion um.
MERKE:
Man kann eine Exponentialfunktion der Form [math]f\left(x\right)=a^x[/math], mit [math]a>0[/math] in eine natürliche Exponentialfunktion umwandeln:[br][br][math]f\left(x\right)=a^x=e^{ln\left(a\right)\cdot x}[/math][br][br]Im späteren Verlauf verwendet man den Parameter [math]k=ln\left(a\right)[/math], so ergibt sich der Funktionsterm:[br][br][math]f\left(x\right)=e^{k\cdot x}[/math][br][br]Für [math]k<0[/math] fällt der Graph und beschreibt einen Zerfall und für [math]k>0[/math] steigt und beschreibt ein Wachstum.