Vektorielle Beschreibung von Ebenen

Geradengleichung und Dimension

In der Umgangssprache geht der Begriff der Dimension recht leicht über die Lippen. Unter einer zwei- oder dreidimensionalen Darstellung kann man sich intuitiv etwas vorstellen:[br][br]Eine zweidimensonale Darstellung bzw. ein zweidmensionales Obkejt haben eine Länge und eine Breite. Nimmt man die dritte Dimension dazu, dann werden diese beiden Dimensionen durch die Höhe ergänzt.[br][br]In einer zweidimensionealen Darstellung braucht man also zwei Koordinaten um einen Punkt zu definieren, i dreidimensionalen Anschauungsraum sind es dann drei.[br][br]Erinnern wir uns an die Paramterdarstellung einer Geraden: Sie ist definiert durch den Stützvektor , der die konkrete Lage im Raum festlegt (die Gerade "stützt" damit sie nicht "runterfällt") und den Richtungsvektor .[br][br]Die Menge aller Punkte auf der Geraden g ist damit durch die Parametergleichung gegeben:[br][br][center][img]data:image/png;base64,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[/img][/center]

Gerade alsPunktmenge

Bauen Sie nun mit dem Applet unten eine Gerade in Parameterdarstellung auf. Veranschaulichen Sie sich nochmals die einzelenen Elemente der Parameterdarstelung. Bauen Sie die Gerade Schritt für Schritt auf und fahren Sie mit dem Schieberegler die Punkte auf der Geraden ab. Sie können auch die Spur eines Punktes einblenden.[br]a) Wie viele Parameter müssen Sie verändern, damit Sie alle Punkte auf der Geraden abfahen können?[br]b) Wie viele Dimensionen hat damit eine Gerade?[br]c) Ist dies unabhängig von der Voraussetzung ob die Gerade in der Ebene oder im Raum dargestellt ist?[br]

Der Übergang zur Darstellung von Ebenen

Wir haben nun Geraden als eindimensionale Objekte kennengelernt. Es gibt einen zu variierenden Parameter, mit dem alle Punkte auf der Geraden erreicht werden können.[br]a) Wie viele Paramter braucht man wohl um alle Punkte einer Ebene erreichen zu können?[br]b) Wie viele Dimensionen hat Ihrer Ansicht nach eine Ebene im Raum?

Ebenendarstellung in Parameterform

Zur Festlegung einer Ebene braucht es also genauso wie bei Geraden einen Stützvektor um die absolute Position im Raum festlzulegen, genauso wie bei Geraden braucht es dann Richtungsvektoren in diesem Fall zwei statt einen. Damit ist eine Ebene eindeutlig festgelegt:[br][br][center][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAU0AAAAeCAYAAAConUwpAAAGj0lEQVR4nO2c4ZGsKhCFSYEYSIEcCMEYTGEyMAMzMAIjIAETMANy6Pfj1mEZFhREd/RNf1VTNXXvrDZ0c2gaVBDDMAxTjPi0AQzDME+CRZNhGKYCFk2GYZgKWDQZhmEquJVoOufIGEPLsnzalCxPsPFqvrUPvrXdzDu3Ek0iomVZSGtN8zx/2pQsT7Dxar61D7613cwPSdEchoGEELsfa23bzXeufweeYOPZlPj+/9oH39ru/yvGGBJCkJSSjDGklHrzodaatNbUdR1N01R0zaznX68XCSFoGIZf/9f3/SmimeIJM/kTbLyab+2DO7V7HEcSQtA4jp825bY456jrOjLGENG/hBDf13WlrutoWRaapomklNT3/e41s6KJbDMlmkRESqnTRfMJNaMzbDTGeMc9kdY+sNZeNuleyd3is+s6EkIk7em6jrTWH7DqPMZx9Jliy0o3FMrwO9E/4VRKEdFPXO7597BoMsd5umi28lTRfArOORJCFGVNd8Q5R1prUkqdktFviSYRvcWiUmo3c2fR/AAsmiyaV+Gc8+Wzpy7bURo8K6OvEU1jzK5QV4umMSYppEijS0TWWusLsvFsiA57vV6717mKeZ5Ja01CCOq6jojeg1FKWVw0TtEimsMw+L7DoLDWvhW8zwBtjTc8Qt8dFb1W0VzXlfq+JynlW0H/jAl+WZa3zYLwmmHbtdbknCu+bspvy7J4vymlvEjM8+x/a4z5dZ9wyRrahxpn6rPVN8uy+KW+Uoqcc+Sco2EYfB/XCHCLf5AlY9ydwd7yXAhB67qSc46klLt+rRLNZVmyDigVzXVdfSDEM0o4UEvS8q16x5HgQRu7rnsTSQQ3OhYBva7rro05u4+I5jAM3n6lFBljaJomP/EYY3aDDX1Wcn9MHCk7PiWaCGytte9/a63fHd2itO3TNGV/h7bX+H4cx6zfnHNv9wt9DBFMxSx8k+rDnN9ShHVa2DHPs/+30jpfeL2j/sFvz86Sc6IJLcKYeb1eRe3cFc1S4anJNAE6aBgGGseRpJS3WrJhtkRwA/TN0XrLGctzKWXxbl9871LRxG9jPima+Nt4JZJadsWUth0DP5W1G2OaaoVKKdJav9mP7EpK+Suz3RtvKdtL/RsDkQ6z3lpa/BPacKYOxKIJHUN/W2tpGIbilcNpmeZRkLpLKW+zKwkwY8d2oW/2ZsMrMmGinyUFllI1/KVoYgDVfrZA26WUNI5jVftr2o5VRjgx4t5H4zS0PbQb/RTvdkNAUqWgXOa2JbR7nFELbfEPUfkZ8RphTWWaOG40z7O/XmlJ8LSa5lEQyHcTzK3aCuo/R2fD1kwTy6irC/13zDSJyJ+pw+Ds+/5wqWTPxjCr7Pu+yW8YoPHgzIkj4ixuG5KX1CBvWQUppU6pibf45y8yzfB73/e+fFB634/unrfWB6/K5Ii2ayuwuXYWDe1uGXyoBV9dyriraBL9i51xHL0vrliphH7GJNpic85vEMc4nqSU/gxhCIQlJYzwWW1stizrc9c74p+/rGmiDLMsi5+IStp/WDRbM06cxULAtOxGX0FOGFIZSC2tollT6G8BAzCe0O4gmiEQkbOPcaGd0zQV1+S2yPktJY4YxKk4y4ksEfmyTS3Igq9Ikmr8c8UZ063d81S9cy8uD4kmGhYKXc1G0LqupLX2Gyxnd9IZoD1xByLwW5aDLaJ5dkawBfogzGjC1cEnRDMnXlf0CepzxpjmTcqc33CPuAy0V89MCWNoL7DWFmVtpasX+C53SuMM//zlOU30mbXWx/bek1TVz56HR3HCDi4RTRiIojdmSmwEIaW/Q9YZn09D4fiMrLhFNHN1sSvAwMWz1jiKgn44uoRqFc343ltHc1oJzy+2kNtVztWnw9qktdYfgyP62TzF7/C3EGZsEOJcaYn4IBnYW9ajHbn4PcM/8RNBR8tguFb87Hkce2GtumQlmX3LUXgwtWT3qkQ0MeDjA7vzPPsjHnd4AilcGiGYMLueMfu1Hm4/Wug/AiZP9Me6rt4G7JDW0nrkCJlfOAFfFTcQtdaJMue33Mtv1nX1bey67m1lg2ulHvnD0T34q/gYjfi9e59ibxl/ln9wuD4cf1v6k2Nr3wOEyVzJ/ge/3yoBBsqdzowyzB3Ai0Basr+nw6KZALP/NwcGw8TEZYJvhUUzAWqsDMMwMSyaESimP/1dhAzDXAOLZkT46N/djkExDPN5WDQZhmEqYNFkGIapgEWTYRimgv8Agdxdg+DNUYkAAAAASUVORK5CYII=[/img][/center]

Der wackelnde Tisch

Ist Ihnen schon einmal aufgefallen, dass es Tische gibt, die auf unebenen Flächeln kippeln, andere Tische (oder natürlich auch Stühle, die fest stehen, egal wie uneben der Untergrund ist? [br][br]a) Woran liegt das?[br]b) was legt diese Beobachtung für den Zusammenhanng Ebene und Auflagepunkte nahe?

Ebenendefinition durch Punkte

Wie gehen Sie vor, wenn Sie nun drei gegebene Punkte im Raum haben und Sie möchten die Ebenengleichung der durch diese Punkte festgelegten Ebene aufstellen?