La esfera completa se puede parametrizar utilizando dos parametrizaciones racionales sin recurrir a funciones trigonométricas. La parametrización:[br][br][list][*][math]\text{R(s,t)=\left(\frac{2s}{1+s^2+t^2},\frac{2t}{1+s^2+t^2},\frac{1-s^2-t^2}{1+s^2+t^2}\right)}[/math] donde [math]\text{s^2+t^2\le1}[/math], parametriza la mitad superior de la esfera ([i]el hemisferio norte[/i]).[/*][*]Si le cambiamos el signo a la última función de la parametrización (la correspondiente a la coordenada [math]\text{z}[/math]) se obtiene una parametrización de la mitad inferior de la esfera (el hemisferio sur), dada por: [math]\text{\cal{S}(s,t)=\left(\frac{2s}{1+s^2+t^2},\frac{2t}{1+s^2+t^2},\frac{s^2+t^2-1}{1+s^2+t^2}\right)}[/math] donde [math]\text{s^2+t^2\le1}[/math].[/*][/list][br]Ambas parametrizaciones [math]\text{R(s,t)}[/math] y [math]\text{\cal{S}(s,t)}[/math] tienen el mismo dominio para los parámetros, el círculo [math]\text{\{(s,t):s^2+t^2\le1\}}[/math]

Al mover el punto rojo y el punto púrpura en el círculo azul (el dominio de los parámetros [math]\text{s}[/math] y [math]\text{t}[/math]) sus imágenes se mueven sobre la esfera, el punto rojo sobre la semiesfera superior (el [i]hemiserio norte[/i]) y el punto púrpura sobre la semiesfera inferior (el [i]hemisferio sur[/i]).[br][br]Los segmentos verde y blanco sobre el círculo (que se obtienen tomando respectvamente, [math]\text{s}[/math] constante y [math]\text{t}[/math] cosntante) tienen como imagen las semicircunferencias verde y blanca sobre la semiesfera superior. De la misma manera los segmentos amarillo y rosa tienen como imágenes las semicircunferencias del mismo color en la semiesfera inferior. [br][br]Obsérvese, que los segmentos verde y blanco en el círculo son perpendiculares entre sí, y lo mismo pasa con sus imágenes sobre la esfera, y lo mismo con los segmentos amarillo y rosa.