[b][size=100][size=150][br]＜ｘについての恒等式＞[/size][/size][/b][br]すべてのｘについて成り立つ多項式f(x)=g(x)を、変数ｘについての[color=#0000ff][b]恒等式[identity][/b][/color]という。[br][size=100][color=#0000ff]係数比較法：fとｇの対応する次数ごとの係数は等しい。[br]数値代入法：fとｇの(x)に0,1,2,3,4など、小さい数を入れても左辺と右辺の値は等しい。[br]（例）「[/color]a(x−1)(x−2)+b(x−1)+c=x[sup]2[/sup]−3x+1が恒等式となるようなa,b,c の値」は？[br]（数値代入法）[br]　x=0のとき、2a-b+c=1[br] x=1のとき、c=-1[br] x=2のとき、b+c=-1 [br]　以上より、a,b,c=(1,0,-1)が必要条件。[br]　逆にこの条件から、(x-1)(-2)-1=x[sup]2[/sup]-3x+1は成り立つから十分である。[br]（係数比較法）[br]　左辺を展開すると、ax[sup]2[/sup]+(b-3a)x+2a+c=x[sup]2[/sup]-3x+1。次数の同じ係数が等しいことと同値。[br]　a=1,b-3a=-3,2a+c=1は、a=1,b=0,c=-1と同値。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「2x-4y+5z=3, 3x+y+4z=1となるx,y,zでpx[sup]2[/sup]+qy[sup]2[/sup]+rz[sup]2[/sup]=2が恒等式となるp,q,rの値」は？[br]　変数を１本化して数値代入しよう。係数の大きなｚを数値とみなしてx,yについて解く。[br]　2x-4y=3-5zに3x+y=1-4zの４倍12x+4y=4-16zをたす。14x=7-21zから、[u]2x=1-3z[/u]、３倍し6x=3-9z。[br]　これを3x+y=1-4zの２倍6x+2y=2-8zに代入する。3-9z+2y=2-8z。[u]2y=z-1[/u][br] 恒等式候補を4倍しp(2x)[sup]2[/sup]+q(2y)[sup]2[/sup]+r(2z)[sup]2[/sup]=8 。p(1-3z)[sup]2[/sup]+q(z-1)[sup]2[/sup]+r(2z)[sup]2[/sup]=8[br][/size] z=0ならp+q=8、z=1なら4p+4r=8つまりp+r=2、z=-1なら16p+4q+4r=8つまり4p+q+r=2。[br]　これから、p=(2-(8+2))/2=-4。q=8-(-4)=12,r=2-(-4)=6。(p,q,r)=(-4,12,6)

[size=150][b]＜式A=Bを変形して証明する＞[br][/b][/size]・Aを変形してBにする。または、その逆。[br]・Aを変形してCにし、Bを変形してCにする。[br]・A−Bを変形して０にする。[br]・ｘｙｚの少なくとも１つは０の証明は、ｘｙｚ＝０の証明をする。[br]・比例式や分数式は値＝ｋとおいてみる。[br][color=#0000ff][b][size=150]・変形のときに、文字種を維持するか、減らして代入するかの方針を決めよう。[br][/size][/b]（例）「[/color]a+b=1ならば、[i]a[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup]=2a-1[/i]」の理由は？[br] （左辺→右辺）左辺＝(a+b)(a-b)=a-b=a-(1-a)=2a-1＝右辺[br]　（左辺、右辺→同一式）左辺＝(a+b)(a-b)＝a-b。右辺＝2a-(a+b)=a-b。したがって、左辺＝右辺。[br]　（左辺ー右辺＝０）左辺ー右辺＝a[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup]-2a+1=(1-a)[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup]=b[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup]=0[br]　[color=#0000ff]（別解）[/color]b=1-aを左辺に代入すると、[br]　　a²-(1-a)²＝a²-1+2a-a²＝2a-1(aだけの式）[br][color=#0000ff]（例）「[/color]a+b=1ならば、[i]a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+3ab=1」の理由は？[/i][br] 左辺ー右辺＝a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+3ab-1=(a+b)[sup]3[/sup]-3ab(a+b)+3ab-1=1-3ab+3ab-1=0。[br][color=#0000ff]（例）「[/color]a+b+c+d=0ならば、[i]a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]+d[sup]3[/sup]=3(a+d)(b+d)(c+d)」[br][/i] c+d=-(a+b)だから、(c+d)[sup]3[/sup]=-(a+b)[sup]3[br][/sup] 左辺ー右辺=[math]\left(a+b\right)^{^3}-3ab\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^3+3cd\left(a+b\right)+3\left(d+a\right)\left(d+b\right)\left(a+b\right)[/math][br]　=[math]3\left(a+b\right)\left(cd-ab+d^2+d\left(a+b\right)+ab\right)[/math]=[math]3\left(a+b\right)\left(d\left(c+d+a+b\right)\right)=0[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]「a+b+c=3,a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]=3abcならa=b=c=1に限る。」理由は？[br]　(a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)＝a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc、[size=150][size=100](a+b+c)[sup]2[/sup]=a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]+2(ab+bc+ca)を使う。[br]　a+b+c=3で、積が０だから、a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca＝０[br]　a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca＝1/2{(a-b)[sup]2[/sup]+(b-c)[sup]2[/sup]+(c-a)[sup]2[/sup]}=0から、a=b=c。a+b+cだから、a=b=c=1。[br][/size][/size][color=#0000ff]（例）[/color]「a+b+c=1,abc=ab+bc+caのとき、a,b,cの少なくとも１つは０」理由は？[br] c=1-(a+b)となるので、abc=ab(1-(a+b))=ab-ab(a+b)=ab+c(a+b)となり、c=-abでもある。[br] だから、ab+1-(a+b)=-c+c=0となる。すると、(a-1)(b-1)(c-1)=(ab-(a+b)+1)(c-1)=(ab+1-(a+b))(c-1)=０[br]　したがって、a,b,cの少なくとも１つは１になる。　[br]　（別解)解と係数の関係から、a,b,cが解の３次方程式x3+px2+qx+r=0の係数はp=-1,q=-rだから、[br]　x3-x2-rx+r=(x[sup]2[/sup]+r)(x-1)=0。だから、x=1が解なので、a,b,cのどれか１つは１である。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「次数の高い順に係数が1,-4,a,1,bとなる４次式がｘの整式の平方になるときのa,bの値」は？[br]　xの整式の係数を1,p,qとして２乗展開した係数は同次部分が同じ位になる係数分離法で筆算する。[br] (1,p,q)(1,0,0)+(1,p,q)(0,p,0)+(1,p,q)(0,0,q)=(1,p,q,0,0)+(0,p,p[sup]2[/sup],pq,0)+(0,0,q,pq,q[sup]2[/sup])＝(1,2p,2q+p[sup]2[/sup], 2pq,q[sup]2[/sup])[br]　となり同じ次数の係数を比較する。[br]　2p=-4からp=-2, 2q+p[sup]2[/sup]=2q+4=a, 2pq=-4q=1から、q=-1/4。b=q[sup]2[/sup]=1/16。a=2q+4=4 -1/2=7/2。[br]　(a,b)=(7/2, 1/16)。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「x,y,zが2(y+z)/x=2(z+x)/y=2(x+y)/zをみたすときのこの分数式の値」は？[br]　分数式＝2ｋとおくと、y+z=xk, z+x=yk,x+y=zkとなる。[br]　両辺の和は2(x+y+z)=k(x+y+z)だから、x+y+z=0かk=2。[br]　x+y+z=0なら2(x+y)/z=2(-z)/z=-2となり。k=2なら2k=4となる。だから、-2または４。

[b]＜　「大＞小」の証明＞[br][/b]・差＝大ー小＞０の証明をする。[br]・小も大も正のときは２乗にして大小比較をする。[br]・証明された式を使う。（一般的な定理や、前問利用）[br]・式を変形して関数の最大、最小を利用する。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]非負の実数について、「[color=#0000ff]相加平均は相乗平均以上[/color]」である。[br][math]a\ge0,b\ge0\Longrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}[/math][br]a,bが非負なので、ルートも非負。それぞれ、x,yとおく。[br][math]\frac{x^2+y^2}{2}\ge xy[/math]を証明すればよい。左辺ー右辺の２倍＝[i]x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]-2xy=(x-y)[sup]2[/sup]は０以上。[br]相加平均が相乗平均以上であることは、証明済みとして、他の不等式問題に利用できる。[br][/i]「＝」が成り立つのはx-y=0つまり、x=y(a=b)のときに限る。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]シュワルツの不等式(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup])(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])>=(ax+by)[sup]2[br][/sup] 左辺ー右辺＝[math]a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-b^2y^2-2abxy=\left(ay-bx\right)^2\ge0[/math][br]「＝」が成り立つのはay-bx=0つまり、x=yのときに限る。つまり、a:b=x:yのとき。[br][color=#0000ff]2次元を多次元にしたコーシーシュワルツ不等式は有名。[br][math]\sum a^2\sum x^2\ge\left(\sum ax\right)^2[/math][br]（例）[/color]x,yが正でx＋y＝１のとき、次の最小値は？(1)[math]\frac{1}{xy}[/math] (2)[math]\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)[/math][br] (1) f(x)=xy=x(1-x)=-x[sup]2[/sup]+x=-(x-1/2)[sup]2[/sup]+1/4<=1/4（頂点の座標から）1/xy>=1/(1/4)=4。[br] (2) 展開すると、分母はxy、分子はxy+x+y+1=xy+2。だから、1+2･1/xy>=1+2･4＝９。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]a,b,cが正の実数のとき、[math]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}[/math][br] [color=#0000ff][u]積xy=1なら相加平均が相乗平均以上であることから、x+y>=2･1=2で、和は２以上となる。[/u][/color][br] [math]\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=3+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2\cdot3=9[/math][br][br][color=#0000ff]（例）[/color]「a,b,cが異なる正実数のとき、次の４数を大きい順にならべよう。[br]P=[math]\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)[/math],Q=[math]\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)[/math],R=[math]3\left(a^3+b^3+c^3\right)[/math],S=[math]9abc[/math]」[br]特殊例でも大小関係は不変なので、a,b,c=(3,2,1)として大小関係を確定する。[br]P=6･(9+4+1)=84, Q=6･(6+2+3)=66, R=3(27+8+1)=108, S=9･3･2･1=54だから、大きい順にR,P,Q,S。[br]隣接する２数の大小関係は３つあるから、３つの不等式を証明すればよいね。[br][br](P-Q)/(a+b+c)=[math]\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=\frac{1}{2}\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right)>0[/math][br]Q-S=3abc+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-3abc-2abc-2abc-2abc[br]=ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)=ab((a-c)+(b-c))+bc((b-a)+(c-a))+ca((c-b)+(a-b))[br]=[math]\left(\left(a-b\right)\left(ca-bc\right)+\left(b-c\right)\left(ab-ac\right)+\left(a-c\right)\left(ab-bc\right)\right)=c\left(a-b\right)^2+a\left(b-c\right)^2+b\left(a-c\right)^2>0[/math][br]R-P=[math]3\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left\{a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(b+a\right)\right\}[/math][br][math]=a^2\left(2a-\left(b+c\right)\right)+b^2\left(2b-\left(c+a\right)\right)+c^2\left(2c-\left(a+b\right)\right)[/math][br][math]=a^2\left(\left(a-b\right)+\left(a-c\right)\right)+b^2\left(\left(b-c\right)+\left(b-a\right)\right)+c^2\left(\left(c-a\right)+\left(c-b\right)\right)[/math][br][math]\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)+\left(b-c\right)^2\left(b+c\right)+\left(a-c\right)^2\left(a+c\right)>0[/math][br]以上から、大きい順にR,P,Q,Sとなる。