Quart de cercle trigonométrique
Sur le graphique ci-dessous, on a placé les points [math]O(0;0)[/math],[math]I(1;0)[/math] et [math]J(0;1)[/math].[br][br]a. Construis le quart de cercle de centre [math]O[/math] et d'extrémités [math]I[/math] et [math]J[/math]. Place un point [math]M[/math] sur ce quart de cercle, trace la droite [math](OM)[/math] et fait afficher la mesure de l'angle [math]\widehat{IOM}[/math].[br][br]b. [math]N[/math] est le point de l'axe des abscisses ayant la même abscisse que [math]M[/math] et [math]P[/math] est le point de l'axe des ordonnées ayant la même ordonnée que [math]M[/math]. Construis les points [math]N[/math] et [math]P[/math] puis affiche les longueurs des segments [math][ON][/math] et [math][OP][/math].[br][br]c. Construis le point [math]T[/math], intersection de la droite [math](OM)[/math] et de la droite perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par [math]I[/math]. Fais afficher la longueur du segment [math][IT][/math].
Démonstrations
d/ En te plaçant dans le triangle [math]OMN[/math], exprime en justifiant tes réponses le cosinus puis le sinus de l'angle [math]\widehat{IOM}[/math].
e/ Démontre que [math]IT[/math] est égale à la tangente de l'angle [math]\widehat{IOM}[/math].
f/ Exprime les coordonnées des points [math]M[/math] et [math]T[/math] en fonction de l'angle [math]\widehat{IOM}[/math].
Applications
g/ A l'aide de ta construction, détermine les valeurs approchées de [math]\cos60°[/math], [math]\sin45°[/math] et[math]\tan75°[/math].
h/ Comment varient le cosinus et le sinus d'un angle lorsqu'il varie entre 0 et 90° ?
i/ Que peux-tu dire de sa tangente lorsqu'un angle se rapproche de 90° ?
j/ Détermine, au degré près, la valeur de l'angle [math]\widehat{IOM}[/math] pour que son sinus soit égal à [math]{1\over 2}[/math].[br]Ce résultat aurait-il pu être obtenu par des considérations géométriques ?
k/ Détermine, au degré près, la valeur de l'angle [math]\widehat{IOM}[/math] pour que sa tangente soit égale à 1.[br]Ce résultat aurait-il pu être obtenu par des considérations géométriques ?