In den letzten Kapiteln wurden die einfache Binomialverteilung und die kumulierte Binomialverteilung hergeleitet und es wurden einzelne häufige Fragestellungen behandelt. Hier soll noch einmal zusammengefasst werden, welche Fragen gestellt werden können. Im Grunde sind diese Rechnungen nur mit Hilfe eines Taschenrechners möglich (früher hat man Tabellen verwendet). Dennoch ist es gut, die Formeln zu kennen. Denn die unterschiedlichen Buchstaben in einer Formel, die Parameter, sind die Größen, nach denen in einer Aufgabe gefragt werden kann. [br]Außerdem sind die Formeln für die Dokumentation der Lösungen wichtig: Da der Taschenrechner die Formel löst, liegt der Kompetenznachweis nicht mehr darin, die Formel selber händisch zu lösen, sondern zu wissen, welche Gleichung der Taschenrechner gerade bearbeitet.

[math]P(n;p;X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} [/math][br]Anweisung auf dem CAS-Taschenrechner HP-Prime:[br][color=#0000ff]binomial(n,p,k)[/color]

[math]P(n;p;k_1\le X\le k_2)=\sum\limits_{i=k_1}^{k_2}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} [/math][br]Anweisung auf dem CAS-Taschenrechner HP-Prime:[br][color=#0000ff]binomial_cdf (n,p,k[sub]1[/sub],k[sub]2[/sub])[/color]

Hierzu müssen die Anzahl der Versuche [math]n[/math] und die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg des Bernoulli-Experimentes [math]p[/math] beknnt sein. Dann gilt für den Erwartungswert [math]\mu[/math] und die Standardabweichung [math]\sigma[/math]:[br][math]\boxed{\mu = n\cdot p}[/math] und [math]\boxed{\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}[/math]

[math]\fgcolor{#980000}{\mathbf P}(n;p;X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} [/math][br]Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit [color=#980000]P[/color] gefragt. [br]Ein Beispiel:[br]Bei dem Verkauf von Eiern ist eines von 40 Eiern defekt. Sie kaufen 50 Eier. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau zwei Eier defekt?[br]Aus dem Text ist zu entnehmen, dass [math]n=50[/math] und [math]p=\frac{1}{40}=0,025[/math]. Es wird nach [math]k=2[/math] gefragt. Damit lautet die CAS-Anweisung:[br][color=#0000ff]binomial(50 , [/color][math]\fgcolor{#0000ff}{\frac{1}{40}}[/math][color=#0000ff] , 2)[/color][br]Das Ergebnis ist: [math]P(50,\frac{1}{40},X=2)=0,2271\approx 23\%[/math]

Hier gilt es besonders gründlich den Text zu analysieren. Im einfachsten Fall treifft man auf die Formulierung "[color=#980000]Mit welcher Wahrscheinlichkeiten tritt das Ereignis zwischen k[sub]1[/sub] und k[sub]2[/sub] mal auf[/color]".[br]Es kann aber auch heißen:[br][list][*]... [color=#980000]mindestens[/color] k mal[/*][*]... [color=#980000]höchstens[/color] k mal[/*][*]... [color=#980000]nicht öfter als[/color] k mal[/*][*]... [color=#980000]öfter als k[/color] mal[/*][*]... [color=#980000]weniger als k[/color] mal[/*][*]u.s.w.[/*][/list]Dabei ist vor allem zu entscheiden, ob die angegebene Zahl für die Grenze k noch mit im zu berechnenden Bereich liegt oder nicht.

Bei dem Verkauf von Eiern ist eines von 40 Eiern defekt. Sie kaufen 100 Eier. Es gilt also [math]n=100[/math] und [math]p=\frac{1}{40}=0,025=2,5\%[/math][br][br]Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind [color=#980000]mindestens[/color] 3 Eier defekt?[br]CAS: [color=#0000ff]binomial_cdf(100 , 0.025 , 3 , 100)[/color][br]Ergebnis: [math]P(100;0,025;3\le X\le 100)=0,4578\approx 46\%[/math][br][br]Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind [color=#980000]höchstens[/color] 3 Eier defekt?[br]CAS: [color=#0000ff]binomial_cdf(100 , 0.025 , 0 , 3)[/color][br]Ergebnis: [math]P(100;0,025;0\le X\le 3)=0,7590\approx 76\%[/math][br][br]Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind [color=#980000]nicht mehr als [/color] 3 Eier defekt?[br]CAS: [color=#0000ff]binomial_cdf(100 , 0.025 , 0 , 3)[/color][br]Ergebnis: [math]P(100;0,025;0\le X\le 3)=0,7590\approx 76\%[/math][br][br]Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind [color=#980000]mehr als [/color] 3 Eier defekt?[br]CAS: [color=#0000ff]binomial_cdf(100 , 0.025 , 4 ,100)[/color][br]Ergebnis: [math]P(100;0,025;4\le X\le 100)=0,2410\approx 24\%[/math][br][br]Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind [color=#980000]weniger als [/color] 3 Eier defekt?[br]CAS: [color=#0000ff]binomial_cdf(100 , 0.025 , 0 ,2)[/color][br]Ergebnis: [math]P(100;0,025;0\le X\le 2)=0,5422\approx 54\%[/math][br][br][br][br]

[b]Beispiel 1:[/b][br]Es wird gewürfelt: Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99% mindestens 3 mal die Sechs fällt?[br][math]0,99=\sum\limits_{i=3}^{n}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}\cdot \left(\frac {1}{6}\right)^i\cdot \left(1-\frac 16\right)^{n-i} [/math][br]Im Grunde müsste die Eingabe in den Taschenrechner nun lauten: [br][math]\text{\fgcolor{#0000aa}{solve(0.99=binomial\_cdf(x, \frac{1}{6} , 3 , x))}}[/math][br]Diese Gleichung löst der Taschenrechner aber nicht, weil die kumulierte Binomialverteilung schon eine sehr kompliziere Funktion ist und zwei [math]x[/math] an verschiedenen Stellen - das ist selbst dem Taschenrechner zu viel.[br]Aber man kann die Gleichung mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit etwas geschickter formulieren: Die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine Sechs zu werfen ist gleich der Wahrscheinlichkeit von 100% minus der Wahrscheinlichkeit höchstens 2 Sechsen zu würfeln:[br][math]0,99=1-\sum\limits_{i=0}^{2}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^i\cdot \left(1-\frac 16\right)^{n-i} [/math][br]Das entspricht der CAS-Anweisung:[br][math]\text{\fgcolor{#0000aa}{solve(0.99=1-binomial\_cdf(x,\frac{1}{6}, 0,2))}}[/math][br][br][b]Beispiel 2:[/b][br]Wenn die Frage lautet: Wie oft muss ein Bernoulli-Experiment durchgeführt werden, damit das Ergebnis [b]mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90% [color=#980000]mindestens einmal[/color][/b] auftritt, dann lässt sich das Ergebnis sogar fast von Hand berechnen. Zu lösen ist:[br][math]0,9 = \sum\limits_{i=1}^{n}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i}[/math][br]Wenn man das auch wieder mit der Gegenwahrscheinlichkeit formuliert, dann heißt das:[br][math]0,9 =1- \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\cdot p^0\cdot (1-p)^{n-0}[/math] [br]Mit [math]\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}=1[/math] und [math]p^0=1[/math] bleibt nur noch zu lösen:[br][math]0,9 =1- (1-p)^{n-0}\qquad\Big\vert -1[/math] [br][math]\Rightarrow -0,1=- (1-p)^{n-0}\qquad\Big\vert \cdot (-1)[/math][br][math]\Rightarrow 0,1= (1-p)^{n}\qquad\Big\vert ln()[/math][br][math]\Rightarrow ln(0,1)= ln((1-p)^{n})\qquad\Big\vert\text{ mit } ln(a^b)=b\cdot ln(a)[/math][br][math]\Rightarrow ln(0,1)= n\cdot ln(1-p)\qquad\Big\vert \cdot\frac{1}{ln(1-p)}[/math][br][math]\Rightarrow n = \frac{ln(0,1)}{ln(1-p)}[/math][br]Bis hier hin geht es händisch, das reicht auch zum Beispiel für den hilfsmittelfreien Teil im Abitur. Wer nun noch die Zahl haben möchte, muss den Term allerdings noch in den Taschenrechner eingeben, wenn das [math]p[/math] für das Bernoulli-Experiment und die Sicherheitswahrscheinlichkeit gegeben sind.[br]

Zurück zu den Eiern: Bei dem Verkauf von Eiern ist eines von 40 Eiern defekt. Sie kaufen 500 Eier. Wie viel Eier werden mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99,7% kaputt sein?[br][b]Schritt 1[/b]: Mit Hilfe der Lplace-Bedingung feststellen, ob die Sigmaregeln überhaupt ein gutes Ergebnis liefern: [math]\sigma=\sqrt{500\cdot\frac{1}{40}\cdot(1-\frac{1}{40})}\approx 3,5 >3[/math] Die Laplace-Bedingung ist also erfüllt.[br][br][b]Schritt 2[/b]: Aus der Sicherheitswahrscheinlichkeit das Vielfache der Sigmaumgebung bestimmen[br]Da es sich um eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99,7% handelt, ist [math]c=3[/math][br][b]Schritt 3[/b]: Erwartungswert und Standardabweichung berechnen: [br][math]\mu=500\cdot\frac{1}{40}=12,5[/math] und [math]\sigma\approx 3,5[/math] (s.o.)[br][b]Schritt 4[/b]: Da gesuchte Intervall ausrechnen:[br][math][\mu-3\cdot\sigma;\mu+3\cdot\sigma]=[12,5-10,5;12,5+10,5]=\underline{\underline{[2;23]}}[/math][br]Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99,7% werden zwischen 2 und 23 Eier defekt sein. [br]

Eine Fluglinie stellt fest, dass nur 93% der Personen, die einen Flug buchen, diesen auch wahrnehmen. Die Flugzeuge der Fluglinie haben 250 Plätze. Wie viel Plätze kann das Unternehmen überbuchen (das heißt mehr Plätze verkaufen, als das Flugzeug Sitze hat), so dass alle Passagiere mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99,5% trotzdem einen Platz bekommen?[br][color=#980000]Bei Überbuchungen gelten die Sigmaregeln nur [b][i]einseitig[/i][/b]. Zu [i]wenig[/i] Kunden sind kein Problem, sondern nur wenn zu [i]viel[/i] Kunden kommen, fehlen den Anbietern Plätze. D.h. die 2,58-fache Sigmaumgebung würde keine 99-prozentige Sicherheit bieten, sondern sogar eine 99,5-prozentige. Wenn nach einer 95-prozentigen Sicherheit gefragt ist, dann reicht die Betrachtung der 90%-Sigma-Umgebung. [/color][br][br][b]Schritt 1[/b]: Standardabweichung berechnen und damit die Laplace-Bedingung überprüfen: [br][math]\sigma=\sqrt{250\cdot0,93\cdot0,07}\approx 4,0>3[/math] Die Laplace-Bedingung ist also erfüllt[br][b]Schritt 2[/b]: Eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99,5% (einseitig) entspricht dem Faktor [math]c=2,58[/math][br][b]Schritt 3[/b]: Bestimmen des Erwartungswertes[br][math]\mu=250\cdot 0,93=232,5[/math] [br][b]Schritt 3[/b]: Es werden also mit eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99,5% zwischen [math]\mu-2,58\cdot\sigma=232,5-10,32=222,18\approx 222[/math] und [math]\mu+2,58\cdot\sigma=232,5+10,32=242,82\underline{\underline{\approx243}}[/math] Sitzplätze belegt sein. (Die untere Grenze des Sicherheitsintervalls interessiert hier ja nicht, denn wenn weniger Passagiere als vermutet kommen, ist ja genug Platz im Flieger)[br][b]Das heißt, das 257 Sitzplätze im Flugzeug vergeben werden können, so dass mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99% trotzdem alle Passagiere einen Sitzplatz bekommen.[/b][br][br][b]Alternativer Lösungsweg:[/b][br][b]Schritt 1[/b]: Standardabweichung berechnen und damit die Laplace-Bedingung überprüfen: [br][math]\sigma=\sqrt{250\cdot0,93\cdot0,07}\approx 4,0>3[/math] Die Laplace-Bedingung ist also erfüllt[br][b]Schritt 2[/b]: Eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99,5% entspricht dem Faktor [math]c=2,58[/math][br][b]Schritt 3[/b]: Bestimmen des Erwartungswertes: [math]\mu=250\cdot 0,93=232,5[/math] [br][b]Schritt 4[/b]: Mit [math]\mu=n\cdot p[/math] und [math]\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}[/math] kann folgende Gleichung aufgestellt werden:[br] [math]\boxed{n\cdot p+c\cdot\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\text{Anzahl Plätze}}[/math]. [br]Diese muss nach n aufgelöst werden.[br]Das ist mit eingesetzten Zahlen: [math]n\cdot 0,93+2,58\cdot\sqrt{n\cdot 0,93\cdot (1-0.93)}=250[/math] [br]Mit einem CAS: [math]\fgcolor{0000FF}{\mathbf{solve(n\cdot 0.93+2.58\cdot \sqrt{n\cdot 0.93\cdot(1-0.93)}=250,n)}}[/math][br]Das Ergebnis ist dann [math]n=257,4\approx\underline{\underline{257}}[/math]