Scrivere una funzione polinomiale [math]y=p\left(x\right)[/math] di 3° grado che si annulli solo per [math]x=0[/math] e [math]x=3[/math], il cui grafico sia tangente all'asse [i]x[/i] in un punto e passi per [math]P=\left(1,-4\right)[/math].[br]Determinare l'area della regione piana limitata compresa tra l'asse [i]x[/i] e il grafico della funzione polinomiale individuata.

Questo problema ammette due soluzioni possibili.[br][br]Poiché la funzione interseca l'asse delle ascisse solo in [math]x=0[/math] e in [math]x=3[/math] ed è tangente in uno di questi punti all'asse, e la tangenza implica uno zero con molteplicità doppia, l'equazione sarà del tipo: [br](1) [math]p\left(x\right)=ax^2\left(x-3\right)[/math] se il punto di tangenza è [math]x=0[/math][br]oppure[br](2) [math]p\left(x\right)=ax\left(x-3\right)^2[/math] se il punto di tangenza è [math]x=3[/math].[br][br]Imponendo il passaggio di ciascuna curva per [math]P=\left(1,-4\right)[/math] otteniamo rispettivamente[br](1) [math]p\left(x\right)=2x^2\left(x-3\right)[/math][br]oppure[br](2) [math]p\left(x\right)=-x\left(x-3\right)^2[/math][br][br]Visualizza i grafici delle due funzioni nell'app di seguito. L'area della regione di piano limitata dal grafico della funzione e dall'asse delle ascisse si trova in entrambi i casi al di sotto di esso, quindi sarà necessario cambiare il segno ai rispettivi integrali:[br](1) [math]A=-\int_0^3\left(2x^2\left(x-3\right) \right) dx=\frac{27}{2}[/math][br]oppure[br](2) [math]A=-\int_0^3\left(-x\left(x-3\right)^2 \right) dx=\frac{27}{4}[/math][br]