Las ecuaciones exponenciales son aquellas ecuaciones que tienen la incógnita en el exponente de alguna potencia. Para resolver las ecuaciones exponenciales se utilizan las propiedades de las potencias, los logaritmos y los cambios de variables.[br][img width=258,height=259]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/uploads/2021/01/Ecuaciones-exponenciales-resueltas.png[/img][br][br]https://prezi.com/p/edit/jg5iknfzzmsm/

Las ecuaciones exponenciales son aquellas ecuaciones que tienen la incógnita en el exponente de alguna potencia. Para resolver las ecuaciones exponenciales se utilizan las propiedades de las potencias, los logaritmos y los cambios de variables.[br][img width=258,height=259]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/uploads/2021/01/Ecuaciones-exponenciales-resueltas.png[/img][br][br]Para poder resolver una ecuación exponencial es imprescindible que domines las propiedades de la potenciación.[br][br][list][*][img width=140,height=18]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54766093b3af91d167e8df3433716a39_l3.svg[/img][/*][/list][list][*][img width=142,height=15]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6b4f171e31eb53b48549163dee6c3d5_l3.svg[/img][/*][/list][list][*][img width=120,height=23]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4cfc895556c01c4b681edd87bb7fb1e9_l3.svg[/img][/*][/list][list][*][img width=98,height=23]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42883900fc81160bf7177a88fa0b2609_l3.svg[/img][/*][/list][list][*][img width=75,height=44]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d774d0741de41bcaf4f40747464900d5_l3.svg[/img][/*][/list][list][*][img width=102,height=43]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6d0ef59dfab8250bd12c2a2a60549250_l3.svg[/img][/*][/list][list][*][img width=57,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4171cf80e71d30644503415998d531f8_l3.svg[/img][/*][/list][list][*][img width=59,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bce3bd015e0ff9607edba4ad11c40d02_l3.svg[/img][/*][/list][list][*][img width=182,height=16]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dfe3b275e61ee3e97c6d3da782028c5d_l3.svg[/img][/*][/list][br][br]El procedimiento para resolver una ecuación exponencial depende de cómo sea esta:[br][list=1][*]Si en los dos miembros de la ecuación exponencial hay una única potencia con la misma base, se deben igualar sus exponentes.[/*][*]Si en la ecuación exponencial hay una sola potencia, se deben aplicar logaritmos con la misma base que la potencia en ambos miembros de la ecuación.[/*][*]Si en cada miembro de la ecuación exponencial hay una potencia y tienen diferente base, se deben aplicar logaritmos con cualquier base en ambos miembros de la ecuación.[/*][*]Si no se cumple ninguna de las condiciones anteriores, se debe hacer un cambio de variable.[/*][/list][br]Ejemplo 1, la siguiente ecuación exponencial tiene una única potencia en cada uno de sus lados, y ambas potencias tienen el mismo número como base (5):[br][br][img width=105,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d9c0014bc42c94d422b02fdf04ae82e_l3.svg[/img][br][br]Como en los dos miembros tenemos una potencia con la misma base, los dos exponentes tienen que ser iguales. Por lo tanto, podemos igualar sus exponentes:[br][br][img width=110,height=16]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84929fe007479de21fff37fe174d198c_l3.svg[/img][br][br]Y ahora simplemente tenemos que resolver la ecuación de primer grado resultante:[br][br][img width=124,height=14]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2178d2c3e531b1f4e4f76b822551ed1_l3.svg[/img][br][br][img width=74,height=14]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3a4e836838e4acb9a9114745b672762_l3.svg[/img][br][br][br]Ejemplo 2[br][br][img width=80,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-983faaee2cc2534526e791f95cbafdb8_l3.svg[/img][br][br]En este ejercicio tenemos una sola potencia, por lo tanto, tenemos que aplicar logaritmos en ambos miembros de la ecuación. Pero no podemos poner cualquier logaritmo, sino que deben tener la misma base que la potencia de la ecuación, que en este caso es 3.[br][br][img width=159,height=24]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ad7b47dad145d395d03677c097649c3_l3.svg[/img][br][br]Ahora utilizamos la propiedad del logaritmo de una potencia en el primer miembro de la ecuación exponencial:[br][br][img width=194,height=22]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4a23eeec8ed61f6286ee7052c97e76b_l3.svg[/img][br][br]El logaritmo de la base da como resultado 1, por lo que [img width=94,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41599b67b14a787f1a36c159397c65cf_l3.svg[/img][br][br][img width=166,height=22]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6d0f8a7fc20fa00bc2113226dc8165d_l3.svg[/img][br][br][img width=126,height=20]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-67b1164650231f66a546a72931e007a8_l3.svg[/img][br][br]De modo que solo nos queda despejar la incógnita de la ecuación:[br][img width=126,height=20]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-59c5381f296a5bbe1c5ef9adfc7ea009_l3.svg[/img][br][br]Finalmente, calculamos el logaritmo utilizando la calculadora para expresar numéricamente la solución de la ecuación exponencial:[br][br][img width=117,height=18]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-915ce971dd97b50226ee655d148743f4_l3.svg[/img][br][img width=91,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-da317a0e43b095abff10043b9919145f_l3.svg[/img][br][br]Cuando en cada miembro de la ecuación exponencial hay una sola potencia y las dos potencias tienen diferente base, se deben aplicar logaritmos (con cualquier base) en ambos miembros de la ecuación.[br][br]Para que veas cómo se solucionan estas ecuaciones exponenciales vamos a hacer un ejemplo a [br]continuación:[br][br][img width=111,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5892a14ca8dbd730e332b758dfb88826_l3.svg[/img][br][br]En este caso tenemos una potencia en cada lado de la ecuación exponencial, pero una tiene como base 6 y la otra 5. En consecuencia, aplicamos logaritmos en base 10 en ambos lados de la ecuación:[br][br][img width=172,height=23]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff875fd4953879f494481bbae48d75c5_l3.svg[/img][br][br]Ahora podemos emplear la propiedad del logaritmo de una potencia en cada lado:[br][img width=244,height=22]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6cb7959337dad201c9446113a403496b_l3.svg[/img][br][br]Aplicamos la propiedad distributiva para quitar los paréntesis de la ecuación exponencial:[br][br][img width=303,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3fad31ac33412ee29eabf893143ca1ef_l3.svg[/img][br][br]Como en una ecuación simple, ponemos los términos con x en un miembro de la ecuación y los términos sin x en el otro miembro:[br][img width=303,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aca20014ecc139f1c42139fdfa644e95_l3.svg[/img][br][br]Sacamos factor común en el lado izquierdo:[br][img width=300,height=22]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5d850696f078e9c9952ee515848b8a3_l3.svg[/img][br][br]El factor [img width=116,height=20]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8803d0d58eb92e5db14645e9e2d8f0f6_l3.svg[/img] está multiplicando a todo el lado izquierdo de la ecuación, así que lo podemos pasar dividiendo al otro lado de la ecuación:[br][br][img width=179,height=49]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4b1c9aa9ae46e4bea1c410713273a3f_l3.svg[/img][br][br]Y, por último, utilizamos la calculadora para hallar el valor de x:[br][br][img]https://go.ezodn.com/utilcave_com/ezoicbwa.png[/img][img width=91,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b757fd6d8838401f355a091e4088b69_l3.svg[/img][br][br]Ejemplo 3.[br][br][img width=132,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c4b9be2f89c895963d4cf8f37cb2750_l3.svg[/img][br]En este ejercicio no podemos aplicar ninguno de los 3 procedimientos que hemos visto en los apartados anteriores, porque el primer miembro de la ecuación exponencial tiene más de un término. Por lo tanto, deberemos aplicar un cambio de variable.[br]Pero antes tenemos que transformar la ecuación exponencial para que en los exponentes solo haya una x. Así que utilizamos las propiedades de las potencias para simplificarlas:[br][br][img width=162,height=27]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35f05f9012a92c2802615c3143b6fc15_l3.svg[/img][br][img width=154,height=27]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f64348630c0de0fef7f9244f9963996a_l3.svg[/img][br][br]Y, ahora sí, hacemos el cambio de variable t=2x. Normalmente, el cambio de variable corresponde a la potencia que tiene la x como exponente, en este caso 2x.[br][br][img width=56,height=15]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df2fb049bfc596ae8d3322a84ca1a265_l3.svg[/img][br][br][img width=128,height=27]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4eef3a91b1dc7701de544a28497da63_l3.svg[/img][br][img width=135,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed3d9a28739d53e66c5cc2c6c439a257_l3.svg[/img][br]Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante con la fórmula general:[br][br][img width=348,height=417]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3968c0df3e59db3a60305fa2ff47ea49_l3.svg[/img][br]Una vez hemos hallado los valores de t, deshacemos el cambio de variable para determinar los valores de x:[br][list][*]Si t=4:[/*][/list][img width=56,height=15]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19c52b3a93e7d43ea24b710716f52cfa_l3.svg[/img][br][img width=59,height=15]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-859773e25c43f6900a29d215bb8a612d_l3.svg[/img][br][img width=67,height=19]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-328d4caf2b40cb947159682565af1f8d_l3.svg[/img][br][img width=55,height=14]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8eac60ced110234bdb2f4f3ec6d31db2_l3.svg[/img][br][list][*]Si t=-2:[/*][/list][img width=56,height=15]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19c52b3a93e7d43ea24b710716f52cfa_l3.svg[/img][br][img width=74,height=15]https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c410c3a4a0fa59700164a0e21bf3aee_l3.svg[/img][br]El resultado de una potencia siempre es positivo. Por lo que t=-2 no es una solución válida, ya que 2x nunca podrá dar como resultado -2.[br][br]Por lo tanto, la única solución de la ecuación exponencial es x=2.