Στερεομετρία
Table of Contents
- Εισαγωγικές έννοιες
- Διαστάσεις
- Οι τρεις διαστάσεις και ο Όγκος
- Σχεδίαση ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου
- Αναγνωρίζεις τα στερεά σώματα;
- Με αποκαλούν...
- Πρίσματα
- Ανατομία κύβου
- κύβος
- 3-4 γωνικά πρίσματα αναπτύγματα
- Ανατομία ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου
- ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
- Ανατομία τριγωνικού πρίσματος
- 5 πρίσματα - έγχρωμη έκδοση
- Εντοπισμός βάσεων σε πρίσματα
- Πρίσμα ή πυραμίδα;
- Όγκος
- Όγκος κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου
- Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου
- ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗ: Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου
- Όγκος ορθογώνιων πρισμάτων
- Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου
- Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου 2
- δεξαμενή - πισίνα
- Πετρέλαιο θέρμανσης: Οδηγίες προς καταναλωτές
- Όγκος τριγωνικού πρίσματος
- Όγκοι Πρισμάτων και Πυραμίδων
- Κύλινδρος
- Ανάπτυγμα και συνολική επιφάνεια κυλίνδρου
- Κύλινδρος
- Όγκος κυλίνδρου 1
- Όγκος κυλίνδρου
- Χωρητικότητα κυλίνδρου
- Επανάληψη κύλινδρος
- Σφαίρα Κώνος
- Επιφάνεια σφαίρας (μνημονικό)
- Συνολικό Εμβαδό επιφάνειας μιας σφαίρας με αποσύνθεση σε σφαιρικούς τομείς
- Ανακαλύπτοντας τον τύπο για τον όγκο μιας σφαίρας
- Σφαίρα (Όγκος + Επιφάνεια)
- Κώνος
- Αναλογία όγκων
Διαστάσεις
Πόσες κορυφές σε 0 διαστάσεις;[br]Πόσες κορυφές και ακμές σε 1 διάσταση;[br]Πόσες κορυφές, ακμές και έδρες σε 2 διαστάσεις;[br]Πόσες κορυφές, άκρες, έδρες και κύβοι σε 3 διαστάσεις;
Ανατομία κύβου
Όγκος κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου
[b]Όγκος κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου[/b][br][br]Αν σας ζητούσαν να περιγράψετε τον όγκο ενός αντικειμένου, πώς θα το κάνατε; [br]Πώς θα περιγράφατε τις μονάδες με τις οποίες θα τον υπολογίζατε;[br]Αυτό το κεφάλαιο ασχολείται με τον υπολογισμό του όγκου και τις μονάδες που χρησιμοποιούνται [br]κατά τον υπολογισμό του όγκου.[br][br]Στο τελευταίο κεφάλαιο ασχοληθήκαμε με την περίμετρο, η οποία είναι μια μονοδιάστατη - γραμμική[br]μέτρηση. Όπως διαπιστώσαμε, η περίμετρος είναι μονοδιάστατη και ουσιαστικά έχει τα χαρακτηριστικά [br] μιας γραμμής. Ένα καλό παράδειγμα περιμέτρου θα ήταν αν περπατούσατε γύρω (περιμετρικά) από ένα γήπεδο ποδοσφαίρου.
Στη συνέχεια ρίξαμε μια ματιά στο εμβαδό, το οποίο είναι μια δισδιάστατη μέτρηση. [br]Ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγμα είναι η επιφάνεια του τραπεζιού. Αν έπαιρνες [br]ένα πινέλο να φρεσκάρεις το πάνω μέρος του τραπεζιού, θα έβαφες την περιοχή [br]της επιφάνειας του τραπεζιού.
Όταν έχουμε να κάνουμε με τον όγκο, προσθέτουμε μια ακόμη διάσταση, και αυτό καταλήγει να κάνουμε [br]τρισδιάστατη μέτρηση. [br]Εδώ είναι μια καλή οπτική αναπαράσταση καθεμίας από τις τρεις διαστάσεις.
Τώρα ας επανεξετάσουμε τις μονάδες μέτρησης. Όταν ασχολούμαστε με γραμμικές μετρήσεις, [br]αντιμετωπίζουμε τις μονάδες ως έχουν. Δηλαδή μέτρα, εκατοστά και ούτω καθεξής.[br][br]Όταν ασχολούμαστε με το εμβαδό, έχουμε να κάνουμε με τετραγωνικές μονάδες όπως τα [br]τετραγωνικά μέτρα, για να υποδείξουν ότι έχουν δύο διαστάσεις. Για παράδειγμα, [br]ένα διαμέρισμα μπορεί να έχει επιφάνεια 120 τετραγωνικά μέτρα: 120 m². [br]Ο τετραγωνισμός των μέτρων υποδεικνύει δύο διαστάσεις, όπως πλάτος και μήκος.[br][br]Τώρα όμως προσθέτουμε μια ακόμη διάσταση. Δεν έχουμε μόνο μήκος και πλάτος, αλλά έχουμε [br]και ύψος - βάθος. Λοιπόν, έχουμε να κάνουμε με κυβικές μονάδες όπως τα [br]κυβικά μέτρα ή μέτρα[sup]3 [/sup] ή m[sup]3[/sup] . Το "3" σε αυτή την περίπτωση αντιπροσωπεύει τρεις διαστάσεις [br]και είναι υπεύθυνο για τον όρο "κυβικό" όταν τον εκφωνούμε. Τώρα είμαστε έτοιμοι να συνεχίσουμε [br]και να μάθουμε τον τύπο για τον όγκο συγκεκριμένων αντικειμένων.
[br][br][b]Όγκος ενός κύβου[/b][br]Όταν δηλώνεται η λέξη «κύβος», μπορούμε να σκεφτούμε ένα τετράγωνο αλλά απλώς με [br]μια επιπλέον διάσταση. [br]Εάν προσθέσετε μια τρίτη διάσταση, θα έχετε όλες τις πιθανές διαστάσεις ίδιες. [br]Ρίξτε μια ματιά σε έναν από τους πιο διάσημους κύβους στον κόσμο:
[br][br]Για να βρούμε τον όγκο του κύβου, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τις τρεις ακμές (διαστάσεις). [br]Πιο συγκεκριμένα, πολλαπλασιασμό του μήκους, του πλάτους και του ύψους. [br]Επειδή και οι τρεις ακμές είναι ίδιες, ο τύπος είναι ο ακόλουθος:[br][b]Όγκος κύβου=ακμή× ακμή × ακμή[/b][br]Για να βρείτε τον όγκο ενός κύβου είναι πολύ απλό. Το μόνο που πρέπει να γνωρίζετε είναι [br]το μήκος της μίας ακμής και έχετε όλες τις πληροφορίες που χρειάζεστε.
[b]Όγκος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου[/b][br][br]Ο υπολογισμός του όγκου ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου μοιάζει πολύ με τον υπολογισμό του όγκου ενός κύβου εκτός του γεγονότος ότι οι διαστάσεις του είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους. [br]Όταν ασχοληθήκαμε με ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, αναφερθήκαμε στις δύο διαστάσεις [br]μήκος και πλάτος. Τώρα απλώς προσθέτουμε μια επιπλέον διάσταση που θα ονομάσουμε "ύψος".
[br][br]Για άλλη μια φορά, εργαζόμαστε με τρεις διαστάσεις και ο τύπος θα είναι παρόμοιος με αυτόν [br]ενός κύβου, με τη μεταβλητή "ακμή" να αντικαθίσταται από τις τρεις διαφορετικές διαστάσεις. Τύπος:[br][b]Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου = μήκος × πλάτος × ύψος[/b]
Ανάπτυγμα και συνολική επιφάνεια κυλίνδρου
Εισαγωγή
Η εύρεση του συνολικού εμβαδού της επιφάνειας ενός κυλίνδρου είναι πολύ χρήσιμο. [br]Μπορεί να βοηθήσει σε ερωτήσεις όπως, "Πόση βαφή χρειάζομαι για να καλύψω την επιφάνεια;" ή [br]«Πόσο χαρτί περιτυλίγματος χρειάζομαι για να τυλίξω αυτό το δοχείο;»[br] [br]Υπάρχουν τύποι που μπορείτε να απομνημονεύσετε και να χρησιμοποιήσετε όταν χρειάζεται. [br]Ωστόσο, είναι εύκολο να ξεχάσετε έναν τύπο που χρησιμοποιείτε μόνο μια φορά στο τόσο.[br] [br]Υπάρχει άλλος τρόπος για να λύσετε ένα πρόβλημα επιφάνειας χωρίς να απομνημονεύσετε τον τύπο; [br]Σε αυτό το φύλλο εργασίας GeoGebra θα εξερευνήσετε μια άλλη μέθοδο για την εύρεση της επιφάνειας.[br][br][b]Βήμα 1[/b]. Δημιουργήστε και πειραματιστείτε με ένα ανάπτυγμα[br][br]Χρησιμοποιήστε το εργαλείο [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon]για να μετακινήσετε το δρομέα Ανάπτυγμα. [br]Αυτό θα δείξει πώς ο κύλινδρος ξεδιπλώνεται από τρισδιάστατο σχήμα σε ένα, επίπεδο σχήμα. [br]Χρησιμοποιώντας τον ίδιο δρομέα, το ανάπτυγμα μπορεί να διπλωθεί ξανά στο αρχικό τρισδιάστατο σχήμα.[br][br][b]Βήμα 2[/b]. Βρείτε το εμβαδό της επιφάνειας[br] [br]Ας υποθέσουμε ότι σας δίνεται το ύψος (υ) του κυλίνδρου και η ακτίνα (ρ) των βάσεων του κυλίνδρου. [br]Μόλις ο κύλινδρος ξεδιπλώσει, το πρόβλημα εύρεσης του εμβαδού επιφάνειας είναι τώρα πρόβλημα εύρεσης [br]του εμβαδού δύο σχημάτων. Ποια δύο σχήματα;[br] Πριν συνεχίσετε, θυμηθείτε πώς υπολογίζετε (α) εμβαδόν ορθογωνίου, (β) εμβαδόν κύκλου και (γ) περίμετρο (περιφέρεια) κύκλου.[br]Έχετε πληροφορίες για να βρείτε το εμβαδόν των δύο κύκλων, αλλά τι γίνεται με το ορθογώνιο; [br]Γνωρίζετε το ύψος (υ), αλλά τι γίνεται με το πλάτος; Το χρειάζεστε για να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.[br][br][b][u]Συμπέρασμα[/u][/b][br]Για έναν κύλινδρο, ο τύπος είναι: εμβαδόν επιφάνειας = [b]2πρ[sup]2[/sup] + 2πρυ[/b][br][br][br]Αν ξεχάσετε τον τύπο, μπορείτε πάντα να χρησιμοποιήσετε το συλλογισμό του αναπτύγματος για να σας βοηθήσουν να υπολογίσετε την επιφάνεια.