Es gibt viele rotationssymmetrische Körper, wie Flaschen, Vasen, Gläser Rohe und so weiter.[br]Das Volumen solcher Körper kann sehr schön mit Integralrechnung berechnet werden:

Die Fläche unter einem Funktionsgraphen hat Riemann hergeleitet, indem er die Fläche in lauter aufrechte Streifen oder Säulen aufgeteilt hat. Wenn man die Funktion kennt, die die Silhouette eines Rotationskörpers beschreibt, dann kann man das Volumen so eines Körpers aus lauter sehr flachen Kreisschreiben zusammenfügen (siehe Abbildung).

Eine Kreisscheibe der Dicke [math]d[/math] und mit dem Radius R hat das Volumen [math]V=\pi\cdot R^2\cdot d[/math].[br]Eine Kreisscheibe der Dicke [math]dx[/math] und mit dem Radius [math]f(x)[/math] hat dann das Volumen [math]dV=\pi\cdot f(x)^2\cdot dx[/math].[br]Wenn das Volumen im Intervall von [math]x\in[0;3][/math] berechnet werden soll, muss man in diesem Intervall also über alle Kreisscheiben summieren. Das macht man wieder mit einem Integral:[br][math]\int\limits_a^b dV=\int\limits_a^b \pi\cdot f^2(x)\, dx[/math][br][br]Daher ist die Gleichung für das Rotationsvolumen eines Körpers, der rotationssymmetrisch zur x-Achse ist:[br][math]\Large{\boxed{ V = \pi\cdot \int\limits_a^b f^2(x)\, dx}}[/math]

Die Funktionsgleichung der oben abgebildeten Funktion ist [math]f(x)=\frac{1}{8} \; x^{3} - \frac{3}{2} \; x^{2} + \frac{19}{4} \; x[/math]. Das mit den angedeuteten Scheiben ausgefüllte Intervall ist [math]x\in[0;3][/math]. Dann ist das Rotationsvolumen:[br][br][math]V = \pi\cdot \int\limits_0^3 (\frac{1}{8} \; x^{3} - \frac{3}{2} \; x^{2} + \frac{19}{4} \; x)^2 dx \approx 128,4[/math]