Datenblatt des Bugatti Chiron, eines der schnellsten Autos der Welt.
Analysis der Eingangsklasse
(Version 1.0) Ein (zusätzliches) Lehrwerk für die Eingangsklassen der beruflichen Gymnasien in Baden-Württemberg.
Table of Contents
- Funktionen
- Darstellung von Zusammenhängen
- Definition des Funktionsbegriffs
- Anwendungen des Funktionsbegriffs
- Test zum Funktionsbegriff
- Lineare Funktionen
- Definition linearer Funktionen
- Schnittwinkel zwischen Geraden
- Anwendungen linearer Funktionen
- Test zu linearen Funktionen
- Änderungsrate und grafisches Ableiten
- Durchschnittliche Änderungsrate
- Momentane Änderungsrate
- Grafisches Ableiten und Ableitungsfunktion
- Quadratische Funktionen
- Einführung von Parabeln
- Definition quadratischer Funktionen
- Strecken von Parabeln
- Verschieben von Parabeln
- Nullstellen von Parabeln
- Bestimmung von Funktionstermen
- Anwendungen quadratischer Funktionen
- Test zu quadratischen Funktionen
- Potenzfunktionen
- Einführung und Definition von Potenzfunktionen
- Parabeln und Hyperbeln höherer Ordnung
- Grenzwerte und Asymptoten
- Umkehrfunktionen und Monotonie
- Anwendungen von Potenzfunktionen
- Test zu Potenzfunktionen
- Polynomfunktionen
- Definition der Polynomfunktionen
- Globales und lokales Verhalten
- Symmetrie
- Verschieben, Strecken, Spiegeln
- Nullstellen
- Gleichungen
- Regression 2
- Anwendungen von Polynomfunktionen
- Test zu Polynomfunktionen
- Exponentialfunktionen
- Wachstumsprozesse
- Exponentielles Wachstum
- Die Exponentialfunktion
- Strecken und Verschieben
- Irrationale Zahl(en)
- Die natürliche Exponentialfunktion
- Exponentialgleichungen
- Der Logarithmus
- Anwendungen von Exponentialfunktionen
- Test zu Exponentialfunktionen
Darstellung von Zusammenhängen
Rekordfahrt des Bugatti Chiron
Höchstgeschwindigkeit?
Leistung vs. Höchstgeschwindigkeit
Im Folgenden untersuchen wir, wie die Höchstgeschwindigkeit eines Autos und die dafür erforderliche maximale Leistung zusammenhängen.[br][br]Die Leistung [i]P[/i] ist definiert als[br][math]P=\frac{W}{t}[/math][br]also als Arbeit/Energie [i]W[/i], die pro Zeit [i]t[/i] fließt.[br][br]Die Arbeit [i]W[/i] ist wiederum definiert als[br][math]W=F\cdot s[/math][br]also als Kraft [i]F[/i] mal zurückgelegter Weg [i]s[/i].[br][br]Es ergibt sich folglich:[br][math]P=\frac{W}{t}=\frac{F\cdot s}{t}=F\cdot\frac{s}{t}=F\cdot v[/math][br]Oder in Worten: Die für eine bestimmte Höchstgeschwindigkeit [i]v[/i] erforderliche Motorleistung [i]P[/i] ist das Produkt aus der wirkenden Kraft [i]F[/i] und der Höchstgeschwindigkeit [i]v[/i].[br][br]Aber welche Kraft wirkt eigentlich während einer geradlinigen, gleichförmigen (also unbeschleunigten) Bewegung auf das Auto?[br][br]Reibungskräfte![br][br]Bei hohen Geschwindigkeiten dominiert die Luftreibungskraft, also der Luftwiderstand. Bei turbolenten Strömungen gilt laut Formelsammlung:[br][math]F=\frac{1}{2}\rho\cdot A\cdot c_w\cdot v^2[/math][br]mit der Luftdichte [math]\rho\approx1\text{ kg/m³}[/math], der Frontfläche [i]A[/i] und des Strömungswiderstandskoeffizienten [math]c_w[/math], der die Stromlinienförmigkeit quantifiziert (https://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungswiderstandskoeffizient).[br][br]Setzt man diese Formel in die obige Formel für die Leistung ein, so ergibt sich:[br][math]P=\frac{1}{2}\rho\cdot A\cdot c_w\cdot v^3[/math][br]Das heißt die erforderliche Leistung ist proportional zur dritten Potenz der Höchstgeschwindigkeit![br]
Verdopplung der Höchstgeschwindigkeit
Sie wollen die Höchstgeschwindigkeit Ihres Kleinwagens verdoppeln, z.B. von 160 km/h auf 320 km/h. Die maximale Leistung ist momentan noch mit 70 PS angegeben.[br]Wie viel PS müsste ein neuer Motor haben, damit die Geschwindikeit verdoppelt werden kann?
Fehlvorstellung aufdecken
Schreiben Sie auf, welche Fehlvorstellungen hinter den falschen Antworten der letzten Frage stehen könnten.
Aufgabe: Zusammenhang darstellen
Wählen Sie eines der im Autokatalog dargestellten Autos und stellen Sie den Zusammenhang Höchstgeschwindigkeit (x-Achse) gegen Leistung (y-Achse) in der GeoGebra-App weiter unten dar.
BMW Einser
Fiat 500
Ford Focus
Mercedes A-Klasse
Opel Corsa
Definition linearer Funktionen
Aufgabe: Wiederholung
Versuchen Sie, sich mit Hilfe des obigen Applets zu erinnern, welche Bedeutungen [i]m[/i] und [i]b[/i] in der [b]Geradengleichung[/b][br][math]y=mx+b[/math][br]haben.[br][br]Finden Sie den Zusammenhang zwischen der [b]Steigung [/b]und dem [b]Steigungswinkel[/b], d.h. demjenigen Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden, dessen Betrag möglichst klein ist.
Definition: Lineare Funktionen
Lineare Funktionen können in der Form[br][math]f:\text{ }x\text{ }\mapsto\text{ }m\cdot x+b[/math][br]geschrieben werden, mit reellen Zahlen [math]m,b\in\mathbb{R}[/math][br][br]Die Graphen von linearen Funktionen nennt man Geraden.[br][i]m[/i] ist die Steigung der Geraden; [i]b[/i] ist der y-Achsenabschnitt.[br][br]Zwischen der Steigung [i]m[/i] und dem Steigungswinkel [math]\alpha[/math] besteht folgender Zusammenhang (Herleitung über die Trigonometrie im Steigungsdreieck):[br][math]m=\tan\left(\alpha\right)\text{ }\Leftrightarrow\text{ }\alpha=\tan^{-1}\left(m\right)[/math]
Aufgabe
Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen zu den oben abgebildeten Geraden.[br]Ermitteln Sie zudem die Steigungswinkel.
Durchschnittliche Änderungsrate
Versuch
Nils startet aus dem Stand und beschleunigt so schnell er kann. Seine Mitschüler:innen messen in Abständen von je einem Meter, wann er an ihnen vorbeifährt.[br]Jede Person trägt ihre gestoppte Zeit in folgende Messwertetabelle ein:
Das dazugehörige Weg-Zeit-Diagramm sieht folgendermaßen aus:
Man kann gut erkennen, dass der Zusammenhang zwischen Weg und Zeit nicht linear zu sein scheint, denn eine Gerade lässt sich nicht gut durch die Punkte legen.
Welche Aussagen sind sinnvoll?
Stellen Sie den Parameter a im folgenden Applet ein, sodass die Parabel zu den Messwerten passt.
Legen Sie die beiden Punkte P und Q so, dass die Steigung der roten Sekante der mittleren Geschwindigkeit im Intervall zwischen 4 s und 6 s entspricht.
Welche durschnittliche Geschwindigkeit (in m/s) im Intervall zwischen 4 s und 6 s können Sie ermitteln?
Änderungsrate
In Mathematik, Naturwissenschaft und Technik geht es sehr oft um sogenannte Änderungsraten. Diese geben wieder, [b]wie stark sich die Funktionswerte pro Schritt in x-Richtung ändern[/b].[br][br]Im obigen Beispiel wäre die Änderungsrate: Wie viele Meter legt Nils pro Sekunde (Schritt in x-Richtung) zurück? Diese Größe bezeichnet man gemeinhin als Geschwindigkeit. Die Änderungsrate des zurückgelegten Wegs (als Funktion der Zeit) ist also die Geschwindigkeit.[br][br]Die [b]Steigung der Sekante[/b] gibt wieder, wie groß die [b]durchschnittliche Änderungsrate[/b] im dazugehörigen Intervall ist. Sie kann mittels Steigungsdreieck oder mittels Rechnung bestimmt werden:[br][br][math]m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}[/math][br][br]Da diese Änderungsrate also als Quotient von zwei Differenzen berechnet werden kann, bezeichnet man sie auch als [b]Differenzenquotient[/b].
Einführung von Parabeln
Aufgabe
Suchen Sie sich eine der folgenden Aufgaben (PDF) aus und bearbeiten Sie sie.[br][br]Üben Sie eine 5-10-minütige zu Ihrem Thema Präsentation ein.
AB Einführung Parabel
Einführung und Definition von Potenzfunktionen
Was haben Aluminiumstäbe, Klippenspringer, Kugeln (wie die Erde), leuchtende Sterne, elektrische Felder, Gravitation und die Atmosphäre gemeinsam?[br][br]Richtig! Bei ihrer physikalischen Beschreibung trifft man auf funktionelle Zusammenhänge der Form:[br][math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math]
[u][b]Aluminiumstab[/b][/u][br]Die [b]Masse [/b]eines Aluminiumstabs ist [b]proportional [/b]zu dessen [b]Volumen[/b]; der Proportionalitätsfaktor [math]\rho[/math] ist die [b]Dichte [/b]in kg/m³.[br][color=#0000ff]→ Ein doppelt so langer Stab ist doppelt so schwer.[/color][br][br][u][b]Klippensprung[/b][/u][br]Ein Klippensprung kann näherungsweise mit dem Modell "[b]freier Fall[/b]" beschrieben werden. Die zurückgelegte [b]Fallstrecke [/b]ist proportional zum [b]Quadrat der Fallzeit[/b]; der Proportionalitätsfaktor ist die Hälfte der Erdbeschleunigung.[br][color=#0000ff]→ Nach der doppelten Fallzeit ist der Springer viermal so tief gefallen.[/color][br][br][u][b]Kugel[/b][/u][br]Das [b]Volumen [/b]einer Kugel hängt von der [b]dritten Potenz ihres Radius[/b] ab; der Vorfaktor ist laut Formelsammlung [math]\frac{4}{3}\pi[/math].[br][color=#0000ff]→ Eine Kugel mit doppeltem Radius hat das achtfache Volumen.[/color][br][br][u][b]Stern[/b][/u][br]Die [b]Strahlungsleistung [/b]eines Sterns ist proportional zur [b]vierten Potenz seiner Temperatur[/b]; es gehen nur noch die Oberfläche [i]A[/i] und die Strahlungskonstante [math]\sigma[/math] ein.[br][color=#0000ff]→ Ein doppelt so heißer Stern strahlt 16 mal so viel Energie pro Sekunde ab.[/color][br][br][u][b]Elektrisches Feld[/b][/u][br]Das [b]elektrische Potential [/b]im Umfeld einer elektrischen [b]Punktladung [/b](näherungsweise eine kleine geladene Kugel) ist [b]antiproportional zum Abstand[/b] von der Punktladung. Neben physikalischen und mathematischen Konstanten spielt nur noch die Ladung [i]Q[/i] eine Rolle.[br][color=#0000ff]→ Geht man doppelt so weit weg von der Kugel, ist das elektrische Potential (und damit die Spannung zwischen Kugel und dem eigenen Ort) nur noch halb so groß.[/color][br][br][u][b]Gravitation[/b][/u][br]Die gravitative [b]Kraft [/b]zwischen zwei Körpern ist [b]antiproportional zum Quadrat des Abstands[/b] zwischen den beiden Körpern - das ist das sogenannte [b]Abstandsquadratsgesetz[/b]. Neben der Gravitationskonstante gehen nur noch die beiden Massen ein.[br][b]→ Befindet man sich statt auf der Erdoberfläche (d.h. in 6371 km Entfernung vom Erdmittelpunkt) doppelt so weit vom Erdmittelpunkt entfernt (d.h. 6371 km über der Erdoberfläche), so ist die Erdanziehung nur noch ein Viertel mal so stark.[/b][br][br][u][b]Atmosphäre[/b][/u][br]Dehnt sich ein [b]Gas [/b](z.B. feuchte, warme Luft in unserer Atmosphäre) [b]adiabatisch [/b]aus, d.h. ohne dass das Gas dabei nennenswert Energie an die Umgebung abgeben kann (z.B. bei relativ rascher Wolkenbildung), so hängt der [b]Druck [/b]vom [b]Volumen [/b]ab, und zwar als [b]Potenz mit nicht-ganzzahligem Exponenten [/b][math]-\frac{5}{3}[/math].[br][color=#0000ff]→ Eine Verachtfachung des Volumens würde zu einem Druckabfall auf ein Zweiundreißigstel des Ausgangsdrucks führen.[/color]
Definition: Potenzfunktion
Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung man in folgender Form schreiben kann:[br][br][math]f\left(x\right)=a\cdot x^r[/math][br]mit den reellen, von Null verschiedenen Parametern [math]a,r\in\mathbb{R}^{\text{*}}[/math][br][br]Ist der [b]Exponent [/b][i]r[/i] [b]größer als 1[/b] und [b]ganzzahlig[/b], so heißt der Funktionsgraph [b]Parabel r-ter Ordnung[/b].[br][br]Ist der [b]Exponent [/b][i]r[/i] [b]negativ [/b]und [b]ganzzahlig[/b], so nennt man den Graphen [b]Hyperbel r-ter Ordnung[/b].
Definition der Polynomfunktionen
Was haben alle oben abgebildeten Funktionen gemeinsam?
Definition: Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)
Polynomfunktionen (manchmal auch ganzrationale Funktionen genannt) sind Funktionen, deren Gleichung in folgender Form geschrieben werden kann:[br][br][math]f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2+a_1x+a_0[/math][br][br]Dabei nennt man die Vorfaktoren [math]a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0[/math] [b]Koeffizienten[/b]; sie sind[b] reelle Zahlen[/b].[br][math]n[/math] ist der [b]Grad [/b]der Polynomfunktion; er ist eine [b]natürliche Zahl[/b].[br][math]a_0[/math] wird als [b]Absolutglied [/b]bezeichnet.[br][br]Polynomfunktionen [b]nullten Grades[/b] (Funktion c im obigen Diagramm) nennt man [b]konstante Funktionen[/b].[br]Polynomfunktionen [b]ersten Grades[/b] (Funktion l) heißen [b]lineare Funktionen[/b].[br]Polynomfunktionen [b]zweiten Grades[/b] (Funktion q) sind [b]quadratische Funktionen[/b].[br]Polynomfunktionen [b]dritten Grades[/b] (Funktion k) nennt man [b]kubische Funktionen[/b].[br]Die Funktion b gehört zu den sogenannten [b]biquadratischen Funktionen[/b].[br]
Welche Funktionen gehören zur Klasse der ganzrationalen Funktionen?
Wachstumsprozesse
Zellteilung
Zeitserie einer Zellteilung von [i]Dictyostelium discoideum[/i], einem Schleimpilz. Die Zellteilung in tierischen Zellen läuft ähnlich ab. Die Zahlen geben Sekunden an, der Nullpunkt ist am Beginn der Anaphase gewählt. Maßstab: 5 µm. (Von Robinson et al. - Douglas N Robinson, Guy Cavet, Hans M Warrick and James A Spudich: Quantitation of the distribution and flux of myosin-II during cytokinesis. BMC Cell Biology 2002 3:4 doi:10.1186/1471-2121-3-4. Part of Figure 2., CC BY 2.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4029964)
Aufgabe: 1000 Zellen
Nach welcher Zeit kann man 1000 Zellen erwarten, wenn alle aus dieser einen Zelle hervorgehen?
Aufgabe: Funktionsterm bestimmen
a) Geben Sie in der folgenden Tabelle die richtigen Anzahlen der Zellen ein.[br]b) Probieren Sie einen Funktionsterm aus, der den Zusammenhang zwischen der Nummer der Teilung und der Anzahl der Zellen wiedergibt.
Aufgabe: Wachstum beschreiben
Vergleichen Sie dieses so genannte [b]exponentielle Wachstum[/b] mit dem [b]linearen Wachstum[/b]. Wie ändert sich jeweils der Funktionswert, wenn man in x-Richtung einen Schritt weitergeht?[br][br][b]Exponentielles Wachstum[/b]: [math]f\left(x\right)=a\cdot q^x[/math] mit Anfangswert [i]a[/i] und Wachstumsfaktor [i]q[/i]; z.B. [math]f\left(x\right)=1\cdot2^x[/math] (siehe oben)[br][b]Lineares Wachstum[/b]: [math]g\left(x\right)=m\cdot x+c[/math] mit Anfangswert [i]c[/i] und Wachstumsrate [i]m[/i]; z.B. [math]g\left(x\right)=2x+1[/math]
Experiment: "Zerfall" von Schokolinsen
[list=1][*]Geben Sie die Schokolinsen in ein Behältnis, mischen Sie sie gut durch und schütten Sie sie auf den Tisch.[/*][*]Tragen Sie die Anzahl der ausgeschütteten Schokolinsen in die folgende Tabelle bei "Anzahl" ein.[/*][*]Legen Sie nun alle Schokolinsen, deren Beschriftung nach oben zeigt, auf die Seite (oder essen Sie sie auf).[/*][*]Wiederholen Sie die Schritte 1-3 neun mal. [br][/*][*]Probieren Sie erneut, einen Funktionsterm zu finden, der den "Zerfall" der Schokolinsen wiedergibt. [br][/*][/list]
Aufgabe: Zerfall beschreiben
Vergleichen Sie diesen so genannten [b]exponentiellen Zerfall[/b] mit dem [b]linearen Zerfall[/b]. Wie ändert sich jeweils der Funktionswert, wenn man in x-Richtung einen Schritt weitergeht?[br][br][b]Exponentieller Zerfall[/b]: [math]f\left(x\right)=a\cdot q^x[/math] mit Anfangswert [i]a[/i] und Wachstumsfaktor [i]q[/i]; z.B. [math]f\left(x\right)=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x[/math] (siehe Schokolinsen)[br][b]Linearer Zerfall[/b]: [math]g\left(x\right)=m\cdot x+c[/math] mit Anfangswert [i]c[/i] und Wachstumsrate [i]m[/i]; z.B. [math]g\left(x\right)=-5x+100[/math]