Lien entre la convexité d'une fonction, le sens de variation de sa dérivée, le signe de sa dérivée seconde et la position de la tangente par rapport à la courbe.
[math]f[/math] est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. Les propositions suivantes sont équivalentes : [list=1] [*] la fonction [math]f[/math] est convexe sur I ; [*] la fonction [math]f'[/math] est croissante sur I ; [*] la fonction [math]f''[/math] est positive sur I ; [*] la courbe de la restriction de la fonction [math]f[/math] à I est au-dessus de sa tangente. [/list] Les propositions suivantes sont équivalentes : [list=1] [*] la fonction [math]f[/math] est concave sur I ; [*] la fonction [math]f'[/math] est décroissante sur I ; [*] la fonction [math]f''[/math] est négative sur I ; [*] la courbe de la restriction de la fonction [math]f[/math] à I est au-dessous de sa tangente. [/list]