[size=85]Száldobágyi Zsigmond[url=https://www.geogebra.org/m/dzavaj9m] két egymást kívülről érintő körökkel kapcsolatos problémát [/url]jelentetett meg. Ennek kapcsán nézzük meg, hogy milyen sejtések fogalmazhatók meg az ilyen helyzetű körökre vonatkozóan![/size]

[size=85]Következzenek a bizonyítások![/size]

[size=85]Kaptuk, hogy a közös külső érintő szakasz hossza a sugarak[url=https://www.geogebra.org/m/eh5cCX4j] mértani közepének[/url] a kétszerese.[/size]

[size=85]Kaptuk, hogy a közös belső érintő felezi a közös külső érintőszakaszt, és ez a szakasz a két kör közös pontjából derékszög alatt látszik.[/size]

[size=85]A két kör közös pontjának a közös külső érintő egyenestől való távolsága a sugarak [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Harmonikus_k%C3%B6z%C3%A9p]harmonikus közepe[/url].[/size]

[size=85]Mennyi annak a körnek a sugara, amely érinti a két adott kört és egy közös külső érintőjüket?[/size]

[size=85]Hogyan szerkeszthető meg a keresett kör? ([url=https://www.geogebra.org/m/ybbjdppp]geometriai inverzió[/url])[/size]

[size=85]Két egyenlő ([i]r[/i]) sugarú ([i]k[sub]0[/sub] [/i]és [i]k[/i][sub][i]1[/i][/sub]) kör kívülről érinti egymást, közös külső érintőjük az [i]e[/i] egyenes. Ha [i]n[/i] 1-től különböző pozitív egész szám, akkor a [i]k[/i][sub]n[/sub] kör érinti [i]e[/i]-t, [i]k[/i][sub]q[/sub]-t és [i]k[/i][sub]n-1[/sub]-t. Adjuk meg a [/size][size=85][i]k[/i][sub]n[/sub] kör [i]r[/i][sub]n[/sub] sugarát![/size]

[size=85]A fenti applet alapján sejtés:[br][math]r_n=\frac{r}{n^2}[/math][br][/size][size=85]A bizonyítás teljes indukcióval, az 5. felhasználásával megadható. Ezt az olvasóra bízzuk.[/size]