[right][i][b][size=50][color=#ff7700]03. Juli 2020[/color] [/size][/b][/i][b][size=50][color=#000000]Diese Aktivität ist eine Seite[/color][/size][/b][i][b][size=50][color=#000000] des[/color] [color=#980000][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]geogebra-books Moebiusebene[/url][/color][/size][/b][/i][br][/right][size=85]Das 2-schalige [color=#980000][i][b]Hyperboloid[/b][/i][/color] oben besitzt die Koordinatenebenen als [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Ebenen[/b][/i][/color]. [br]Die [math]xy[/math]-Ebene und die [math]xz[/math]-Ebene schneiden die [color=#980000][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] in 2 [color=#ff7700][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color] mit demselben [color=#ff7700][i][b]Scheitel[/b][/i][/color] [color=#ff7700][b]s[/b][/color]. [br]Der Gleichungsparameter [math]C_z[/math] liegt zwischen 0 und [math]B_y=\frac{1}{\sqrt{f^2-s^2}}[/math], mit [math]0\le s\le f=1[/math].[br]Für [math]C_z=0[/math] ergibt sich ein [color=#980000][i][b]hyperbolischen Zylinder[/b][/i][/color], "[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]" auf diesem sind die zur [math]xy[/math]-Ebene [br]orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] auf dem [color=#980000][i][b]Zylinder[/b][/i][/color].[br]Für [math]C_z=B_y[/math] ist das [color=#980000][i][b]Hyperboloid[/b][/i][/color] zur [math]x[/math]-Achse [color=#1e84cc][i][b]rotations-symmetrisch[/b][/i][/color], die [color=#ff0000][i][b]Kreis-Paare[/b][/i][/color] auf dem [color=#980000][i][b]Hyperboloid[/b][/i][/color] fallen zusammen,[br]die zugehörigen [color=#b6b6b6][i][b]doppelt-berührenden [/b][/i][/color][color=#ff0000][i][b]Kugeln [/b][/i][/color]berühren längs dieser [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]. [br]Die [math]xy[/math]-[color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color] und die in die [math]xy[/math]-Ebene gedrehte [math]xz[/math]-[color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color] berühren sich in den [color=#ff7700][i][b]Scheiteln[/b][/i][/color] [math]\pm s[/math].[br][color=#b6b6b6][i][b]Doppelt-berührende[/b][/i][/color] [color=#b6b6b6][i][b]Kreise[/b][/i][/color] für die einzelnen [color=#ff7700][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color] sind die [math]x[/math]-Achsen-symmetrischen und die [math]y[/math]-Achsen-symmetrischen[br]berührenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color], und die Tangenten, welche möbiusgeometrisch die Hyperbeln ein zweites Mal in [math]\infty[/math] berühren.[br]Die zugehörigen [color=#b6b6b6][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] liegen, von den [color=#674ea7][i][b]Berührpunkten[/b][/i][/color] abgesehen, ganz außerhalb [br]oder ganz innerhalb des [color=#980000][i][b]Hyperboloid[/b][/i][/color]s.[br][u][i][b]Ausnahme[/b][/i][/u]: die x-Achsen-symmetrischen [color=#b6b6b6][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der [math]xz[/math]-[color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color] schneiden [br]die [math]xy[/math]-[color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color] in 4 [color=#674ea7][i][b]Punkten[/b][/i][/color], siehe dazu "Konstruktion".[br]Geeignet verbunden erzeugen diese [color=#674ea7][i][b]Punkte[/b][/i][/color] 2 Parallelen-Scharen, und dazugehörig, 2 parallele [color=#ff0000][i][b]Ebenen-Scharen[/b][/i][/color], [br]welche das [i][b]Hyperboloid[/b][/i] in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisscharen[/b][/i][/color] schneidet.[br]Die nicht so geläufige zugrunde liegende Eigenschaft der sich wie oben [color=#ff7700][i][b]berühreden Hyperbeln[/b][/i][/color] [br]findet sich auch bei anderen sich berührenden Kegelschnitten [br]siehe die Aktivität "[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kn9appwk]Warum sind die Kreis-Schnitt-Ebenen parallel[/url]?" .[br][br][/size]

[size=85][color=#38761D][i][b]Parameterdarstellung des Hyperboloids:[/b][/i][/color][br][br][/size][list][*][size=85][math]H\left(u,v\right)=\left(\begin{matrix}\pm s\cdot \cosh\left(v\right)\\\sqrt{f^2-s^2}\cdot \sinh\left(v\right)\cdot \sin\left(u\right)\\\frac{1}{\sqrt{C_z}}\cdot \sinh\left(v\right)\cdot \cos\left(u\right)\end{matrix}\right)[/math][/size] , [math]-\pi\le v\le\pi[/math],[math]-10\le u\le10[/math][br][/*][/list]