[size=150][color=#0000ff]1) Nel disegno sono raffigurati un triangolo ABC di area[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]e un quadrato DEFG di area[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]2) Apri la vista [b]GRAFICI 3D[/b], chiudi la vista GRAFICI e segui le istruzioni:[br][br][table][tr][td][color=#444444][/color][center][color=#444444][/color][color=#ff0000]ISTRUZIONI[/color][/center][color=#ff0000][/color][/td][td][center][color=#ff0000][/color][/center][color=#ff0000]STRUMENTO[br][/color][color=#ff0000][br][/color][color=#ff0000][/color][/td][td][color=#ff0000][/color][/td][/tr][tr][td][color=#444444]Sull'asse z (che è colorato in blu) disegna il punto P di coordinata 4[/color][/td][td][color=#444444]Punto [/color][/td][td][color=#444444][icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][/color][/td][/tr][tr][td][color=#444444]Disegna la retta r passante per P e parallela all'asse x (che è colorato in rosso)[/color][/td][td][color=#444444]Retta parallela[/color][/td][td][color=#444444][icon]/images/ggb/toolbar/mode_parallel.png[/icon][/color][/td][/tr][tr][td][color=#444444]Prendi un punto V e un punto U sulla retta r.[/color][/td][td][color=#444444]Punto[/color][/td][td][color=#444444][icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][/color][/td][/tr][tr][td][color=#444444]Disegna la piramide avente come base il triangolo ABC e come vertice V e la piramide avente come base il quadrato DEFG e come vertice U.[/color][/td][td][color=#444444]Piramide[/color][/td][td][color=#444444][icon]/images/ggb/toolbar/mode_pyramid.png[/icon][/color][/td][/tr][/table][br][br][br][/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]3) Le due piramidi hanno la stessa area di base e la stessa altezza, che è data dalla distanza tra il piano xy e il punto[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]4) Nascondi la retta r e il punto P e segui le istruzioni:[/color][/size][br][size=150][br][table][tr][td][center][color=#ff0000]ISTRUZIONI[/color][/center][/td][td][center][color=#ff0000]STRUMENTO[/color][/center][/td][td][/td][/tr][tr][td]Sull'asse z disegna il punto Q di coordinata 1,5[/td][td]Punto[/td][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][/td][/tr][tr][td]Disegna il piano k passante per Q e parallelo al piano xy.[br]Nascondi gli assi cartesiani e il punto Q[/td][td]Piano parallelo[/td][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_parallelplane.png[/icon][/td][/tr][tr][td]Interseca il piano k con ciascuna delle facce laterali delle due piramidi e indica i punti di intersezione con A', B', C', D', E', F'[/td][td]Interseca due superfici[/td][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersectioncurve.png[/icon][/td][/tr][tr][td]Disegna il triangolo A'B'C' e il quadrilatero D'E'F'G'[/td][td]Poligono[/td][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon][/td][/tr][/table][/size]
[size=150][color=#0000ff]5) Per le proprietà delle piramidi il triangolo ABC e il triangolo A'B'C' sono[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]Analogamente: il quadrato DEFG e il quadrilatero D'E'F'G' sono[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]6) Segui le istruzioni:[br][br][table][tr][td][center][color=#ff0000]ISTRUZIONI[/color][/center][/td][td][color=#ff0000][/color][center][color=#ff0000]STRUMENTO[/color][/center][/td][td][/td][/tr][tr][td][color=#000000]Disegna la retta s perpendicolare al piano xy passante per V e la retta t perpendicolare al piano xy passante per U[/color][/td][td][color=#000000]Retta perpendicolare[/color][/td][td][color=#000000][icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonalthreed.png[/icon][/color][/td][/tr][tr][td][color=#000000]Trova le intersezioni H, H' della retta s rispettivamente con il piano xy e[br]con il piano k e le intersezioni K, K' della retta t con il piano xy e con il[br]piano k.[br]Nascondi le rette s, t[/color][/td][td][color=#000000]Intersezione[/color][/td][td][color=#000000][icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon][/color][/td][/tr][tr][td][color=#000000]Disegna il segmento VH (che passa per H') e il segmento UK (che passa per K')[/color][/td][td][color=#000000]Segmento[/color][/td][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon][/td][/tr][/table][/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]7) I segmenti VH, UK sono congruenti perchè sono le[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]delle due piramidi (v. punto 3)[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]8) I segmenti HH', KK' sono congruenti perchè uguali alla[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]tra il piano xy e il piano k che sono tra loro[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]9) I segmenti VH' e UK' risultano congruenti per[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]di segmenti congruenti.[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]10) Per le proprietà delle piramidi il rapporto tra l'area del triangolo ABC e l'area del triangolo A'B'C' è uguale a[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]11) Analogamente il rapporto tra l'area di DEFG e l'area D'E'F'G' è uguale a[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]12) Dalle uguaglianze 9), 10) 11) si ricava l'uguaglianza[br][math]\frac{area\left(ABC\right)}{area\left(A'B'C0\right)}=\frac{area\left(DEFG\right)}{area\left(D'E'F'G'\right)}[/math][/color][/size][br][size=150][color=#0000ff]per la proprietà[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]13) Dall'uguaglianza tra le aree dei poligoni ABC, DEFG e dalla 12) si deduce che A'B'C' e D'E'F'G' hanno la stessa area.[br]Le sezioni delle due piramidi con un piano parallelo alla base sono quindi[/color][/size]
[size=150][color=#0000ff]14) La dimostrazione [b]non dipende dalla distanza[/b] tra il piano xy e il piano k, quindi per il [b]principio di Cavalieri[/b] le due piramidi hanno lo [b]stesso volume[/b].[br][br]Inoltre la dimostrazione [b]non dipende dalla forma[/b] dei poligoni di base nè dal [b]valore delle aree[/b] nè dal [b]valore delle altezze[/b] delle due piramidi, ma [b]solo[/b] dal fatto che le basi sono [b]poligoni equivalenti[/b] e le [b]altezze congruenti[/b].[br][br][/color][/size][size=150][color=#0000ff]Si può quindi enunciare che [/color][color=#ff0000][b]condizione sufficiente perchè due piramidi abbiano lo stesso volume è che i poligoni di base siano equivalenti e le altezze siano congruenti[/b][/color][color=#0000ff].[/color][/size]