[b]Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto.[br]Tale punto si chiama baricentro e divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell'altra.[/b][br][table][tr][td][i][b]Ipotesi[/b][/i][/td][td][i][b]Tesi[/b][/i][/td][/tr][tr][td][list][*]ABC è triangolo[/*][*]AM=MC; BN=NC; AP=BP;[/*][*]BM e AN si intersecano in G[/*][*]CP e BM si intersecano in G1[/*][/list][/td][td][list][*]G=G1[/*][*]AG=2GN; BG=2GM; CG=2GP[/*][/list][/td][/tr][/table][i][b][br]Costruzione[/b][/i][br]Disegnare un triangolo ABC; i punti medi M, N e P di AC, BC e AB; il punto G di intersezione tra BM e AN; i punti medi R e S di BG e AG.

[b][i]Dimostrazione[/i][/b][list=1][*]Il segmento MN congiunge i punti medi di due lati del triangolo ABC quindi MN // AB e AB=2MN;[/*][*]analogamente, nel triangolo ABG, RS//AB e AB=2RS;[/*][*]per la transitività della congruenza e del parallelismo MN//RS e MN=RS[/*][*]quindi MNRS, avendo due lati opposti congruenti e paralleli, è un parallelogrammo.[/*][*]poichè in un parallelogrammo le diagonali si intersecano nel loro punto medio allora GR=GM e GS= GN[/*][*]per la transitività della congruenza GR=GM=BR e GS= GN=AS ossia AG=2GN; BG=2GM.[/*][*]Ripetendo lo stesso ragionamento a partire dal segmento PM, si prova che CG[sub]1[/sub]=2G[sub]1[/sub]P; BG[sub]1[/sub]=2G[sub]1[/sub]M .[/*][*]Ma BG[sub]1[/sub]=2G[sub]1[/sub]M e BG=2GM significa che G= G[sub]1[/sub], da cui la tesi[/*][/list]c.v.d.[br]