Definición de matriz simétrica y antisimétrica y sus propiedades.
Sea A una matriz cuadrada de dimensión mxm. Entonces, A es simétrica si igual a su matriz traspuesta: [br][br][center][math]A=A^T[/math][br][/center]
Ejemplo de matriz simétrica de dimensión 3:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/matrices/especiales34.png[/img]
[list][*]La inversa de una matriz simétrica [b]regular[/b] es simétrica.[br][/*][*]La matriz [b]adjunta[/b] de una matriz simétrica es también simétrica.[br][/*][*]La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.[br][/*][*]Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.[br][/*][*]Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.[br][/*][*]Una matriz cuadrada y real, [i]A[/i], es simétrica si, y sólo si, es [url=https://www.matesfacil.com/diagonalizacion.htm]diagonalizable[/url] mediante una matriz de paso ortogonal, [i]Q[/i]. Es decir, [math]QAQ^{-1}=D=diagonal[/math].[/*][/list][list][*]Toda matriz cuadrada [i]A[/i] cumple que [i]A + A[sup]T[/sup][/i] es simétrica.[br][/*][/list]
Una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta es igual a su opuesta: [br][br][math]A^T=-A[/math]
[list][*]Toda matriz cuadrada [i]A[/i] cumple que [i]A - A[sup]T[/sup][/i] es antisimétrica.[br][/*][*]Toda matriz cuadrada puede expresarse como suma de una matriz simétrica y de una antisimétrica.[br][/*][/list]
[list][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/matrices1.html][b]Conceptos básicos de Matrices[/b][/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/matrices2.html][b]Matrices Equivalentes:[/b] operaciones elementales y formas escalonadas[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/matriz-inversa.html][b]Concepto de la matriz inversa:[/b] definición, propiedades y métodos[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/matrices-especiales.html][b]Matrices Especiales:[/b] identidad, diagonal, triangular, traspuesta, adjunta, simétrica, definida positiva, diagonalmente dominante, Hessenberg [/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/matrices-sistemas.html][b]Sistemas de Ecuaciones y Matrices[/b] (teoría)[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/determinante-rango.html][b]Determinante, Rango y Menores de una Matriz y Teorema de Rouché-Frobenius[/b][/url][*][url=https://www.matesfacil.com/diagonalizacion.htm][b]Diagonalización de Matrices[/b] [/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-suma.html][b]Suma de matrices y Matriz Transpuesta[/b][/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-producto.html][b]Producto de Matrices[/b][/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-potencias.html][b]Potencias de Matrices[/b][/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-inversa-adjunta.html][b]Matriz Inversa por Adjunción[/b][/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-determinante-parametro.html][b]Determinantes de matrices con parámetros[/b][/url][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-demostraciones.html][b]Ejercicios teóricos de matrices[/b] (demostraciones)[/url][/list]