Aprendendo a função quadrática com a plataforma GeoGebra

Thais de Carvalho, 23 nov. 2021

Aprendendo a função quadrática com a plataforma GeoGebra

Table des matières

  1. Apresentação
    1. Os autores
    2. O livro
  2. Definição e exemplos de funções quadráticas
    1. Definição e Exemplos
    2. Exercícios - Definição
  3. Gráfico da função quadrática
    1. Gráfico da Função Quadrática
    2. Influência do Coeficiente "a" no comportamento do Gráfico
    3. Influência do Coeficiente "b" no Comportamento do Gráfico
    4. Influência do Coeficiente "c" no Comportamento do Gráfico
    5. Exercícios - Gráfico da Função
  4. Pontos importantes do gráfico da função quadrática
    1. Zeros da Função Quadrática
    2. Método 1 - Fórmula de Bhaskara
    3. Método 2 - Soma e Produto
    4. Método 3 - Fatoração
    5. Método 4 - Isolar o x
    6. Exercícios - Pontos Importantes do Gráfico
  5. Vértice, Conjunto Imagem e intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
    1. Valor da função no elemento
    2. Vértice da parábola
    3. Valor de máximo, ou mínimo, e imagem
    4. Intervalos em que a Função Quadrática é Crescente ou Decrescente
    5. Exercícios - Vértice e Conjunto Imagem
  6. Estudo do sinal da função quadrática
    1. Estudo do Sinal
    2. Exercícios - Estudo do sinal
  7. Problemas Envolvendo a Função Quadrática
    1. Área Máxima do Retângulo
    2. Área de um retângulo dentro de um triângulo retângulo
    3. Problemas envolvendo Custos e Lucros
    4. Problema envolvendo lançamentos
  8. Referências
    1. Referências Bibliográficas e Sites

1.

Apresentação

  • 1. Os autores
  • 2. O livro

1.1.

Os autores

Thais de Carvalho
Thais de Carvalho é graduanda em Matemática - Licenciatura pela UFSC. Ex-bolsista da CAPES pelo Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID). Atualmente é professora de Matemática no Ensino Fundamental I e II, em Florianópolis.
Jorge Cássio Costa Nóbriga
Jorge Cássio Costa Nóbriga é licenciado em Matemática pela UnB, mestre em Ensino das Ciências pela UFRPE e doutor em Educação com ênfase em Tecnologia pela UnB. Bolsista da CAPES pelo programa Ciências sem Fronteira com estágio doutoral na Universidade de Lisboa. Autor das 1ª e 2ª edições dos livros “Aprendendo Matemática com o Cabri-Géomètre II (volumes 1 e 2)”, “Aprendendo Matemática com o Cabri-Géomètre II e II-plus (volume único)”. Coautor do livro “Aprendendo Matemática com o GeoGebra”. Autor de capítulo do livro "Gamificação como estratégia educativa". Professor adjunto na Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC-Blumenau). Colaborador do Instituto Internacional do GeoGebra. Cursos e palestras, escreva para [url=mailto:jcassio@gmail.com]jcassio@gmail.com[/url] ou [url=mailto:jorge.cassio@geogebra.org]jorge.cassio@geogebra.org[/url]
– Thais de Carvalho, Jorge Cássio

1.2.

–

2.

Definição e exemplos de funções quadráticas

O objetivo deste capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam a seguinte habilidade da BNCC: • (EM13MAT302) Resolver e elaborar problemas cujos modelos são as funções polinomiais de 1º e 2º graus, em contextos diversos, incluindo ou não tecnologias digitais; Dessa forma, o objetivo menor é: - Entender o que caracteriza uma equação que representa a função quadrática;

  • 1. Definição e Exemplos
  • 2. Exercícios - Definição

2.1.

Definição e Exemplos

[size=100][justify][size=150][/size][/justify][justify]Dada uma função [math]f: \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math], chamamos de [i][color=#ff0000]função quadrática[/color],[b] [/b][/i]ou[i] [color=#ff0000]função polinomial do 2° grau[/color],[/i] quando existem números reais [math]a[/math], [math]b[/math] e [math]c[/math] com [math]a\ne0 [/math], tal que [math]f(x) = ax²+bx+c[/math], para todo [math]x \in\mathbb{R}[/math]. [br][br][br][math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math][br][br][math]x\mapsto ax^2+bx+c[/math][/justify][/size]
[center][size=150][/size][/center][size=100][justify][/justify][center][size=150][/size][/center][justify][/justify][center][size=150][/size][/center][/size]A partir de agora utilizaremos a seguinte notação para a [i]função quadrática:[/i] [i][math]f(x)=ax^2+bx+c[/math] [/i], com [math]a\ne0[/math], ficando subtendido que seu domínio é [math]\mathbb{R}[/math].[size=100][center][size=150][/size][/center][br][/size][size=100]Apresentaremos alguns exemplos de funções quadráticas. [/size]
Sobre os coeficientes
[justify][size=100][/size][/justify]É importante notar que[br][br][color=#ff0000]O coeficiente [math]a[/math] é quem acompanha o termo [math]x^2[/math][br]O coeficiente [math]b[/math] é quem acompanha o termo [math]x[/math][br]O coeficiente [math]c[/math] é o termo independente[br][br][/color]Quando o coeficiente não está evidente, consideramos sendo igual a [math]1[/math] ou [math]-1[/math].[br][br]No exemplo [math]f\left(x\right)=x^2-x+3[/math], temos que [math]a=1[/math], [math]b=-1[/math] e [math]c=3[/math].
Vamos exercitar?
[justify][size=100]No applet anterior, clique no botão "[i]Novo Exemplo[/i]" e, em seu caderno, determine os coeficientes [math]a,b[/math] e [math]c[/math] das funções geradas. Em caso de dúvidas, clique no botão "[i]Coeficientes[/i]" e verifique a solução. [/size][/justify]
Para refletir
[size=100]Por que chamamos de função [i][b]quadrática[/b][/i]?[/size]
– Thais de Carvalho, Jorge Cássio

2.2.

–

3.

Gráfico da função quadrática

O objetivo deste capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam as seguintes habilidades da BNCC: [list] [*](EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau para representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica. [*](EM13MAT502) Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax². [/list] Dessa forma, os objetivos menores são: -Saber qual a forma e características do gráfico da função quadrática. -Saber qual a influência dos coeficientes da função quadrática no comportamento do gráfico. -Saber esboçar gráfico da função quadrática a partir de uma equação. -Saber determinar a equação que representa o gráfico de uma função quadrática.

  • 1. Gráfico da Função Quadrática
  • 2. Influência do Coeficiente "a" no comportamento do Gráfico
  • 3. Influência do Coeficiente "b" no Comportamento do Gráfico
  • 4. Influência do Coeficiente "c" no Comportamento do Gráfico
  • 5. Exercícios - Gráfico da Função

3.1.

Gráfico da Função Quadrática

[center][/center][justify][/justify][justify]O gráfico da função quadrática é dada por uma curva chamada[b] parábola[/b]. As parábolas possuem condições bem definidas que estudaremos a partir de agora. Elas podem ser exploradas a partir do ponto vista das construções geométricas ou algébricas. No applet seguinte, mostraremos como pode ser construída do ponto de vista das construções geométricas. [/justify]
Explorando a parábola
[size=150][justify][size=100]Construímos acima nossa parábola. Experimente agora modificar o ponto C e observe as alterações que podem ocorrer com a parábola.[/size][/justify][/size]
Construção da parálabola pelo ponto de vista gráfico
[justify]Como construir o gráfico da função quadrática dada por [math]f(x) = ax² + bx + c[/math] ? Utilizaremos a atividade abaixo para construirmos o gráfico da função quadrática. Através de uma tabela determinaremos valores iniciais para [math]x[/math] e observaremos como o gráfico é construído. [/justify]
Reflexão 1
Movimente o ponto x sobre eixo das abcissas. O que você observa?
Reflexão 2
Desmarque a caixa "Exibir/esconder pontos". Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto (x, f(x)) e marque a caixa "exibir rastro". Arraste o ponto x. O que você observa? [br][br][img]https://www.geogebra.org/resource/rzkj5xnz/rR3n9wj5GCxiwOHd/material-rzkj5xnz.png[/img]
Reflexão 3
Desmarque a caixa "exibir rastro". Marque a caixa "Exibir/esconder gráfico" e a caixa "Exibir/esconder coeficientes". Altere os coeficientes "a", "b" ou "c". O que você observa?
– Jorge Cássio, Thais de Carvalho

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

Pontos importantes do gráfico da função quadrática

O objetivo deste capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam as seguintes habilidades da BNCC: (EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2º grau do tipo ax² = b. • (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau. Dessa forma, o objetivo menor é: - Saber identificar no gráfico e calcular os zeros da função quadrática a partir da uma equação;

  • 1. Zeros da Função Quadrática
  • 2. Método 1 - Fórmula de Bhaskara
  • 3. Método 2 - Soma e Produto
  • 4. Método 3 - Fatoração
  • 5. Método 4 - Isolar o x
  • 6. Exercícios - Pontos Importantes do Gráfico

4.1.

Zeros da Função Quadrática

[justify]O estudo sobre os [i][b]zeros da função quadrática[/b][/i], ou [i]raízes da função[/i], tem como objetivo determinar os valores de [math]x[/math] para qual a função [math]f(x) = ax² + bx + c[/math], com [math]a\ne0[/math], irá se anular. Ou seja, os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo [math]x[/math], portanto, as coordenadas de [math]y=0[/math]. [/justify][justify][size=150][br][/size][/justify][br][br][br]
Determinando os Zeros da Função Quadrática.
[justify]Através do exemplo anterior foi possível observar que: [/justify][justify]1. Possuímos duas raízes da função quadrática quando o gráfico intercepta o eixo [math]x[/math] em dois pontos. [br]2. Possuímos duas raízes iguais da função quadrática quando o gráfico intercepta o eixo [math]x[/math] em um ponto. [br]3. Não possuímos raízes reais da função quadrática quando o gráfico da função não intercepta o eixo [math]x[/math]. [br][br]Para obtermos os zeros da função é necessário determinar os valores de [math]x\in\mathbb{R}[/math], tal que [math]f\left(x\right)=y=0[/math]. Portanto, dada a função quadrática [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math], com [math]a\ne0[/math], devemos resolver a equação quadrática [math]ax^2+bx+c=0[/math]. Deste modo, dependendo da função quadrática dada podemos optar por uma das quatro maneiras de resolução da equação do segundo grau, sendo elas: [br][br]1. Usando a Fórmula de Bhaskara;[br]2. Por soma e produto; [br]3. Usando a fatoração; [br]4. Isolando o [math]x[/math].[br][br]Que estudaremos a seguir. [/justify]
– Thais de Carvalho

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

5.

Vértice, Conjunto Imagem e intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

O objetivo deste capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam a seguinte habilidade da BNCC: • (EM13MAT503) Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos da Matemática Financeira ou da Cinemática, entre outros. Dessa forma, os objetivos menores são: - Saber identificar no gráfico e determinar as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo da função quadrática a partir da uma equação; - Saber determinar e representar o conjunto imagem e o domínio da função quadrática.

  • 1. Valor da função no elemento
  • 2. Vértice da parábola
  • 3. Valor de máximo, ou mínimo, e imagem
  • 4. Intervalos em que a Função Quadrática é Crescente ou Decrescente
  • 5. Exercícios - Vértice e Conjunto Imagem

5.1.

Valor da função no elemento

Seja f: [math]\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math] dada por [b][i]f(x) = ax² + bx + c[/i][/b], com [b]a [/b][math]\ne[/math][b] 0[/b]. Temos dois problemas importantes:[br][br][b][i]1. Determinar f([/i][/b][math]x_0[/math][b][i]), dado [/i][/b][math]x_0[/math][math]\in\mathbb{R}[/math][b][i];[br]2. Determinar [/i][/b][math]x_0[/math][b][i][math]\in\mathbb{R},[/math] dado f([/i][/b][math]x_0[/math][b][i]).[br][/i][/b][br]Abaixo trabalharemos com exemplos de como resolver ambos os problemas.
Exemplo 1
Exemplo 2
Exercício 1
Exemplos
Exercício 2
Marque a caixa "Coeficientes". Altere os parâmetros para [math]a=-1[/math], [math]b=-2[/math] e [math]c=3[/math], tal que a função quadrática definida seja [math]f(x)=-x^2-2x+3[/math]. Podemos afirmar que:
Exercício 3
Marque a caixa "Coeficientes". Altere os parâmetros para [math]a=4[/math], [math]b=0[/math] e [math]c=-1[/math]. Determine o valor de [math]f(-1)[/math].
– Thais de Carvalho

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

6.

Estudo do sinal da função quadrática

O objetivo deste capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam a seguinte habilidade da BNCC: • (EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau para representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica; Dessa forma, os objetivos menores são: - Identificar e saber representar por meio de inequações o intervalo em que a função é positiva ou negativa; - Identificar e saber representar o intervalo em que a função é crescente ou decrescente;

  • 1. Estudo do Sinal
  • 2. Exercícios - Estudo do sinal

6.1.

Estudo do Sinal

Estudar o sinal da função significa determinar os valores de [math]x[/math], com [math]x\in\mathbb{R}[/math], para quais a função aplicada no ponto [math]x[/math] é positiva ([math]f(x)>0[/math]), nula ([math]f(x)=0[/math]) ou negativa ([math]f(x)<0[/math]).
Sobre a atividade a seguir
Reflexão 1
Marque as caixas "Coeficientes", Ponto "X" e "Discriminante". Considere uma função tal que [math]a>0[/math] e [math]\Delta>0[/math]. Analise os seguintes casos e, em seguida, indique a alternativa correta. [br][br]1. Quando [math]x>x'[/math] ou [math]x<x''[/math] a função é ___________;[br]2. Quando [math]x=x'[/math] ou [math]x=x''[/math] a função é ___________;[br]3. Quando [math]x''<x<x'[/math] a função é __________;[br]
Reflexão 2
Marque as caixas "Coeficientes", Ponto "X" e "Discriminante". Considere uma função tal que [math]a<0[/math] e [math]\Delta>0[/math]. Analise os seguintes casos e, em seguida, indique a alternativa correta. [br][br]1. Quando [math]x=x'[/math] ou [math]x=x''[/math] a função é ___________;[br]2. Quando [math]x<x'[/math] ou [math]x>x''[/math] a função é ___________;[br]3. Quando [math]x'<x<x''[/math] a função é _____________.
Reflexão 3
Marque as caixas "Coeficientes", "Ponto X" e "Discriminante". Considere a função com os seguintes coeficientes: [b]a=1[/b], [b]b=-2[/b] e [b]c=1[/b]. Ou seja, a função possui discriminante igual a zero. Analise os seguintes casos eindique a alternativa correta. [br][br]1. Quando [math]x=x'=x[/math] a função é ___________;[br]2. Quando [math]x \ne x'=x[/math] a função é ___________;
Reflexão 4
Marque as caixas "Coeficientes", Ponto "X" e "Discriminante". Considere a função com os seguintes coeficientes: [b]a=-4[/b], [b]b=0 [/b]e [b]c=0[/b]. Ou seja, a função possui discriminante igual a zero. Analise os seguintes casos e indique a alternativa correta.[br][br]1. Quando [math]x=x'=x''[/math] a função é ____________;[br]2. Quando [math] x \ne x' = x[/math] a função é ___________.
Reflexão 5
Marque as caixas "Coeficientes", "Ponto X" e "Discriminante". Considere uma função com [math]\Delta < 0[/math]. Analise os casos a seguir e indique a alternativa correta. [br][br]1. Quando [math]a<0[/math] a função é ___________ para todos os valores de [math]x\in\mathbb{R}[/math]. [br]2. Quando [math]a>0[/math] a função é ___________ para todos os valores de [math]x\in\mathbb{R}[/math].
Exercício 1
Exercício 2
– Thais de Carvalho, Jorge Cássio

6.2.

–

7.

Problemas Envolvendo a Função Quadrática

O objetivo deste capítulo é oferecer condições para que os estudantes desenvolvam as seguintes habilidades da BNCC: • (EM13MAT506) Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas. • (EM13MAT503) Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos da Matemática Financeira ou da Cinemática, entre outros. Dessa forma, os objetivos menores são: - Saber modelar problemas que envolvem a área do retângulo com perímetro fixo; - Saber modelar problemas que envolvem o lucro máximo.

  • 1. Área Máxima do Retângulo
  • 2. Área de um retângulo dentro de um triângulo retângulo
  • 3. Problemas envolvendo Custos e Lucros
  • 4. Problema envolvendo lançamentos

7.1.

Área Máxima do Retângulo

Estudaremos a partir de agora alguns problemas envolvendo funções quadráticas e a área máxima do retângulo.
Área e Perímetro do Retângulo
Função que determina a área de um retângulo com perímetro fixo
Reflexão 1
Se o perímetro do retângulo for 8 cm, é possível ele ter área igual a 6 cm²?
Reflexão 2
Se o perímetro do retângulo for 10 cm, qual deve ser uma das dimensões para que a área seja a maior possível?
Reflexão 3
Qual é a equação da função [math]f(x)[/math] que determina a área de um retângulo cujo perímetro mede 12 cm e um dos lados mede x?
– Thais de Carvalho, Jorge Cássio

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

8.

Referências

  • 1. Referências Bibliográficas e Sites

8.1.

Referências Bibliográficas e Sites

Livros
[list=1][*]ARAÚJO, L. C. L. DE; NÓBRIGA, J. C. C. [b]Aprendendo matemática com o Geogebra[/b]. São Paulo: Editora Exato, 2010. [/*][*]LEONARDO, Fábio M. [b]Conexões com a matemática.[/b] 3. ed. – São Paulo: Moderna, 2016.[/*][*]DANTE, Luiz Roberto. [b]Matemática: contexto e aplicações. Ensino Médio[/b]. 3. ed. – São Paulo: Ática, 2016.  [br][/*][/list]
Sites
[list][*]Biblioteca [url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLPjTMuPY-oCRXsgM5eis8IQb7PSFnnvgz]GeoGebra [/url]do canal Jorge Cássio[/*][/list]
Materiais da página do GeoGebra
[list][*]Materiais do [url=https://www.geogebra.org/u/jc%C3%A1ssio]Jorge Cássio[/url][/*][*]Materiais do [url=https://www.geogebra.org/u/marcomanetta]Marco A. Manetta[/url][/*][*]Materiais de [url=https://www.geogebra.org/u/ceduardo]Carlos Eduardo de Oliveira[/url] [*]Materiais de [url=https://www.geogebra.org/u/stevephelps]Steve Phelps[/url] [*]Materiais de [url=https://www.geogebra.org/u/davilaziestman]Davi Cardoso[/url] [*]Materiais de [url=https://www.geogebra.org/u/orchiming]Anthony OR 柯志明[/url] [br][br][/*][*]Outros materiais da plataforma GeoGebra serão incluídos nessa lista. [br][/*][/list]
– Thais de Carvalho, Jorge Cássio

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