Matrizes no 12º ano: uma abordagem intuitiva
Nesta sessão iremos explorar exemplos de situações reais, de modo a induzir a noção de matriz de números reais, incentivando a atribuição de significado a um elemento específico da mesma. Será proposto a identificação e construção de diferentes tipos de matrizes de acordo com as situações propostas. Os exemplos anteriores de situações reais serão usados para identificar e contextualizar as operações e o resultado que produzem, e antever propriedades das operações. Consequentemente, proceder-se-á à determinação da matriz resultante da adição, da subtração e do produto de duas matrizes, analisando-se casos de impossibilidade. Por fim, serão ilustradas as transformações geométricas sobre uma figura recorrendo a construções do Geogebra, de modo a promover a identificação da multiplicação de matrizes com a composição de transformações geométricas.
Obsah
- Tarefa 1: Introdução às matrizes
- Exercício 2
- Exercício 3
- Tarefa 2: Operações com matrizes
- Exercício 6
- Exercício 7
- Tarefa 3: Transformações geométricas com matrizes
- Exercício 8
- Exercício 9
- Exercício 10
- Vídeo sobre transformações geométricas com matrizes
- Transformações Matriciais Explicadas | Transformações Geométricas com Matrizes
Exercício 2
No diagrama estão cinco cruzamentos [math]A,B,C,D[/math] e [math]E[/math] e as estradas que os ligam. Algumas das estradas são de sentido único. [br]A matriz indica a direção que os carros podem percorrer em cada estrada. [br][br][br]
Nesta matriz: [br][list][*]1 na coluna [math]A[/math] e na linha [math]B[/math] indica que o carro pode viajar diretamente de [math]A[/math] para [math]B[/math].[/*][*]0 na coluna [math]B[/math] e linha [math]A[/math] indica que o carro não pode viajar diretamente de [math]B[/math] para [math]A[/math].[/*][/list]
2.1.
Analisando a matriz, será que se pode concluir que a estrada que liga os cruzamentos [math]C[/math] e [math]D[/math] é de sentido único? Justifica
2.2.
Existe alguma estrada em que se possa viajar nos dois sentidos? Justifica.
Adaptado de: [br][list]VICTORIAN CURRICULUM AND ASSESSMENT AUTHORITY 2009. [url=https://www.vcaa.vic.edu.au/sites/default/files/Documents/exams/mathematics/2009furmath1-w.pdf]General[/url][url=https://www.vcaa.vic.edu.au/sites/default/files/Documents/exams/mathematics/2009furmath1-w.pdf] Mathematics, Written examination 1[/url]. Victoria, Australia, 02/11/2009[/list][br][br]
Exercício 6
A tabela seguinte mostra o número de pessoas (em milhares) que visitaram a Austrália e a África do Sul em 2012:
6.1.
[justify]Considera que [b]5% dos que visitaram a Austrália e 4% dos que visitaram a África do Sul[/b] em 2012 decidiram estabelecer-se permanentemente nesses países. [br][br]Considera[math]A[/math] como sendo a matriz [math]3\times2[/math] cujos elementos são os dados pela tabela anterior. [br][br]Considera as matrizes: [/justify]
Calcula os produtos [math]A\times B[/math] e [math]A\times C[/math]. [br]
O que representam os valores das matrizes que obtiveste?
6.2.
Estima-se que de 2012 a 2022, o turismo da América do Norte para a Austrália e África do Sul aumentará em [b]20%[/b], o turismo da Europa aumentará em [b]30% [/b]e o turismo da Ásia em [b]10%.[br][br][/b]Consider as matrizes:
Calcula os produtos [math]D\times A[/math] e [math]E\times A[/math]. [br]
Calcula os produtos [math]D\times A[/math] e [math]E\times A[/math]. [br]
O que representam os elementos dessas matrizes?
Adaptado de: [br]THE UNIVERSITY OF TEXAS AT EL PASO. [url=https://math.utep.edu/faculty/cmmundy/Math%202301/0495292974_CHPT_03.pdf][i]3[/i][/url][url=https://math.utep.edu/faculty/cmmundy/Math%202301/0495292974_CHPT_03.pdf][i] Matrix Algebra and Applications[/i][/url]. Texas, UTEP, 2006. [list][/list][br][br]
Exercício 8
Cria um triângulo [math]\left[ABC\right][/math].[br][br]Representa as coordenadas dos pontos [math]A,B[/math] e [math]C[/math].
8.1.
O que achas que acontece quando multiplicas um escalar pela matriz do triângulo [math]\left[ABC\right][/math]?[br]Verifica a tua conjetura recorrendo ao Geogebra e atribuindo diversos valores ao escalar.
8.2.
Multiplica um escalar pela matriz identidade. Em seguida, recorre ao Geogebra e multiplica a matriz resultante pela matriz do triângulo [math]\left[ABC\right][/math] utilizando o comando "AplicarMatriz". [br]O que observas?
8.3.
Caracteriza as transformações geométricas que identificaste em[b] 3.2[/b] e [b]3.3.[/b]