Είναι γνωστή και δημοφιλής η επόμενη πρόταση, που διδάσκεται στην ύλη της Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου. [br]Στα επόμενα, εξετάζουμε αν το τμήμα ΔΕ είναι το μοναδικό που έχει τη συγκεκριμένη ιδιότητα και, αν όχι, με ποιες προϋποθέσεις υπάρχουν και άλλα...

Για την κατασκευή ενός τμήματος μιας γέφυρας που θα ενώνει το μέσο Δ της πλευράς ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ με την πλευρά ΑΓ, έχει καταρτιστεί προϋπολογισμός που επαρκεί ακριβώς για μήκος ίσο με το μισό της πλευράς ΒΓ. [br]Οι δύο μηχανικοί του έργου διαφώνησαν ως προς το σημείο της πλευράς ΑΓ που πρέπει να τερματίζει η γέφυρα.

• Ο πρώτος υποστήριξε ότι θα πρέπει υποχρεωτικά να είναι το μέσο Ζ της πλευράς ΑΓ και η διεύθυνση της γέφυρας θα πρέπει να είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ.[br]• Ο δεύτερος υποστήριξε ότι αυτό δεν είναι απαραίτητο. Ότι δηλαδή μπορεί να υπάρχει και άλλο σημείο Θ διαφορετικό από το Ζ, έτσι ώστε η γέφυρα να έχει μήκος ίσο με το μισό της πλευράς ΒΓ και να μην είναι παράλληλη προς τη ΒΓ.

Στο δόμημα εμφανίζονται ένα τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ, τα μέσα Δ και Η των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Επίσης, ένα σημείο Θ που κινείται ελεύθερα στην πλευρά ΑΓ.[br][list=1][*]Διατυπώστε με γεωμετρικό τρόπο το πρόβλημα.[/*][*]Πειραματιστείτε για διάφορες θέσεις του σημείου Θ και για διαφορετικά είδη τριγώνων. [/*][*]Χρησιμοποιήστε τα προσφερόμενα εργαλεία για να διατυπώσετε κατάλληλη εικασία.[/*][*]Αποδείξτε τους ισχυρισμούς σας.[/*][/list]