Ha olvasóink - egy időre - le is mondanak arról, hogy önálló vizsgálatokat segítő demonstrációkat készítsenek, feladatokat oldjanak meg az elliptikus geometriában, ahhoz mindenképpen ragaszkodjanak, hogy a GeoGebra appletek interaktív alkalmazásával alaposan megismerkedjenek az E-sík objektumainak a kölcsönös helyzetével, kapcsolataival megszokott és merőben új tulajdonságaival.[br][br]Így hát legyen adott ...[br]

Ha csak egy pont adott a síkon, ahhoz a korábbi geometriai ismereteink birtokában nem sok hozzáfűzni való akad. Itt viszont van! Ha az egérrel megfogva "kivisszük" a modell alapkörén. nyomban "bejön" az ezzel átellenes pontban, és tovább mozgatható mindaddig, amíg el nem engedjük. A nyomvonal kapcsolóval furának tűnő pályát is tudunk vele rajzolni. [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/mpfhgw4g]Itt mutattuk be (2. app.)[/url] azt a fogást, amellyel ezt a "jelenség" előidézhető.[br][br]Az elliptikus geometriában egy ponthoz [u]egyértelműen[/u] hozzárendelhető egy E-egyenes, az adott pont [i]polárisa.[/i] Mint hamarosan látni fogjuk, ez a [i]pont→polárisa[/i] , [i]egyenes→pólusa[/i] kapcsolat kölcsönösen egyértelmű. A [i]kitakarás[/i] jelölőnégyzetet átkapcsolva látható, hogy a poláris alakzatként kapott E- egyenes - épp úgy mint a legtöbb alakzat - a GeoGebra rajzlapnak egy köre, bár jelen esetben a modellezett alakzat ennek csak az alapkörön belüli része.[br][br] (Itt jegyezzük meg, hogy a GeoGebra appletnek a kezdő állapotát visszaállító jelét eltakarja az alapkörnek a modellen kívüli része, ezért ha használni akarjuk, előbb ki kell takarni.)[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/y2czvwbf]Korábban láttuk (az app. 7 lépésénél)[/url], hogy egy E-pont és polárisa közötti kapcsolat a gömbi geometria pólus-poláris kapcsolatának az E síkra eső merőleges vetületeként áll elő. Ezt felhasználva látható be, hogy az [b]A[/b] pont, polárisának az alapkör [b]O[/b] középpontjához legközelebbi [b]T[/b] pontja és a poláris egyenes alapkörre eső [b]C[/b] pontja között az [i]ACT[/i]∢ =45° kapcsolat áll fenn.[br]Ha [i]AO=t[/i], akkor [i]t[/i]-vel kifejezve vajon mekkora az [i]OT [/i]szakasz? [br]A kérdés megválaszolását a szép elemi geometriai feladatok iránt érdeklődő olvasóinkra bízzuk. [br][br]Most azonban legyen adott ...

Itt már lényegesen több újdonságra számíthatunk. [br][list][*][color=#9900ff][b]Két pontra egy és csak egy egyenes illeszkedik.[/b][/color][/*][/list]Ezt az egyenes könnyedén megrajzolható az E-modellen. A félgömb modellnél - [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/mpfhgw4g]és itt is[/url] - láttuk, hogy egy E-pontot a gömb középpontjára, majd a határvonal síkjára tükrözve az adott pont polárreciprokát kapjuk. Ez a pont az [b]A[/b] és [b]B [/b]pont esetében is "ott van" az E-egyenest modellező körvonalon, így az E-egyenes megadásához lényegében három pontra illeszkedő kört kellett szerkeszteni.

Jóval összetettebb kérdés, hogy mit értsünk két ponttal megadott szakaszon?[br][list][*][color=#38761d][b]Egy egyenes két pontját [u]nem választja el egymástól[/u] egy harmadik pont;[/b] [br][/color]vagyis nem használhatjuk az euklideszi geometria elválasztási axiómáit.[/*][/list]Ehelyett be kell vezetnünk az [i]elválasztó pontpár[/i] fogalmát:[br][br][list][*][color=#6aa84f]Egy E-egyenesre illeszkedő négy pontból álló [b][i](A,B)[/i][/b] és [b][i](C,D)[/i][/b] két-két pontja[b] [i]elválasztó pontpárt [/i][/b]alkot, ha pl. az [b][i]A, B, C[/i][/b] pontokat rögzítve [b][i]D[/i][/b] folytonos mozgásával csak úgy érhető el a [b]D=C[/b] egybeeső állapot, ha előtte [b][i]D=A[/i][/b] vagy [i][b]D=B[/b][/i] előáll. [/color][/*][/list][br]Ezt a nem túl egyszerű, de talán szemléletesen követhető mondatot tekintsék olvasóink az elliptikus geometria egyik elválasztási axiómáját körólíró, szemléltető kijelentésnek, ami nem definíció. [br]Talán könnyebben érthető, ha arra gondolunk, hogy[b] A, B, C[/b] és[i][b] D[/b][/i] egy kör négy különböző pontja. Ebben az is benne van, hogy maga az E-egyeses folytonos, véges hosszú, zárt "kör szerű" görbe. [br][list][*][color=#38761d]Ha [b][i](A,B) [/i][/b]és [i][b](C,D)[/b][/i] elválasztó pontpár, akkor [i][b](A,C)[/b][/i] és [b](B,D)[/b] nem elválasztó.[/color][/*][/list][color=#333333]Minderre azért volt szükség, hogy belássuk: egy E-egyenesre illeszkedő [b][i]A[/i][/b] és [i][b]B[/b][/i] pont nem határoz meg egyértelműen egy E-szakaszt, pontosabban: kettőt határoz meg. Így az egyértelmű azonosításhoz meg kell adnunk az E-egyeresen [b][i]A[/i][/b] -tól és [i][b]B[/b][/i]-től különböző [b][i]P[/i][/b] pontot, amelyre hivatkozva azt mondhatjuk, hogy a szakasz megadása egyértelművé vált.[br][br]Jelöljük [i][b]AB[sub]P[/sub][/b][/i] -vel azt a szakaszt, amelynek az [b][i]A[/i][/b] és [i][b]B [/b][/i] végpontoktól különböző pontjait nem választja el [b][i]P[/i][/b] -től az [b][i](A,B)[/i][/b] pontpár, és [i][b]AB[sub]¬P[/sub][/b][/i] -vel, amelyeket elválasztja. [/color]

Több lehetőség is kínálkozik arra, hogy az E-sík két pontja által meghatározott két szakasz közül egyértelműen választhassunk.[br][list=1][*]A fentiek alapján kiválaszthatunk az [b](AB) [/b]E-egyenesen egy [b]P[/b] pontot, és ezzel megadhatjuk azt a szakaszt, amelynek a belső pontjait nem választja el, ill. elválasztja [b]A[/b] és[b] B.[/b] [/*][*]Mint minden E-egyenes, [b](AB)[/b][b] [/b]is metszi a modell alapkörét, így a megkülönböztető pont lehet az így kapott két pont bármelyike. Az így kapott [b]C[/b] pont mindaddig ugyanazt az E-szakaszt "mutatja", amíg [b]A[/b] és [b]B[/b] egyike " át nem ugrik" az alapkör vonalra kiérve. Ez a lehetőség azt a hamis látszatot keltheti, hogy a modell alapkörének kitüntetett szerepe van, miközben tudnunk kell, hogy az elliptikus sík épp úgy mindenütt homogén, mint ahogy az euklideszi és a hiperbolikus is az.[/*][*]Az elliptikus sík gömb- és félgömb-modelljénél láttuk, hogy az E-szakasz szögekkel mérhető, az E- egyenes mértéke 180°, így az [b]A[/b] és [b]B[/b] végpontú két E-szakasz mértéke kiegészítő szögpárt alkot. Így egyértelműen megjelölhető pl. az, amely kisebb, ill. nagyobb a derékszögnél. Ha mindkettő derékszög, akkor ezen az úton nem különböztethetők meg. [/*][*]Van lehetőség arra is, hogy megadjunk egy adott [b](AB)[/b] egyenesre illeszkedő, [b]A[/b] kezdőpontú, adott hosszúságú (szögű) [b]AH[/b] szakaszt.[/*][/list]