[b][size=100]Definition[/size][br][/b]Eine [u]eindeutige[/u] Zuordnung der Elemente einer Menge X in eine zweite Menge Y heißt [u][i]Funktion aus X in Y.[/i][/u]

Die  [u][i]Definitionsmenge von f[/i][/u] umfasst alle Zahlen aus X, denen ein y aus Y zugeordnet wird.[br]Die Zahlen x heißen auch x-Stellen oder Argumente der Funktion f. (Schreibweise: D[sub]f[/sub] )[br]Die [u][i]Wertemenge von f[/i][/u] sind alle Zahlen aus Y, die als Bild einer Zahl aus X vorkommen.[br]Die Zahlen dieser Menge nennt man auch y-Werte oder Funktionswerte von f. [br](Schreibweise W[sub]f[/sub])[br]Durch die Zuordnung der Stelle x auf den Wert y entstehen geordnete Paare [math]\left(x\slash y\right)[/math].[br]Diese Paare entsprechen Punkte in einem Koordinatensystem. Die Menge alle Punkte bildet den Graph der Funktion.

[u][b][i]Beispiel[/i][/b][/u][br]Durch die [u][i]Funktionsgleichung[/i][/u] [math]y=2x[/math] wird jeder Zahl ihr Doppeltes zugeordnet.[br]Zur Zahl x=1 gehört die Zahl y=2, zu x=1500 gehört 3000, zu x=-1,5 gehört y=-3 usw.[br]Die zueinander gehörenden [i][u]Zahlenpaare[/u][/i] bilden die Funktion. [br]Jeder reellen Zahl kann verdoppelt werden, also ist die größte mögliche [u][i]Definitionsmenge[/i][/u] der Menge der reellen Zahlen. Als [u][i]Wertemenge[/i][/u] ergibt sich ebenfalls die gesamte Menge der reellen Zahlen.[br]Die Zahlenpaare können in einer [u][i]Werteabelle[/i][/u] strukturiert erfasst und in einem Koordinatensystem als [i][u]Punkte[/u][/i] graphisch dargestellt werden. Die Menge aller Punkte bildet den [u][i]Funktionsgraph[/i][/u].[br]Für das Beispiel ergibt sich als Graph eine Gerade.

Verändern Sie in der Funktionsgleichung die Zuordnungsvorschrift und untersuchen Sie die Auswirkung Ihrer Änderung.

Die unendliche vielen verschiedenen Funktionen lassen sich in Klassen einteilen und damit systematisch untersuchen.[br]Eine übliches Merkmal zur Klassenbildung ist die Form des Funktionsterms.[br]Einige Beispiele sind[br][br][list=1][*][i][u]lineare Funktionen[/u][/i]: [math]f:y=m\cdot x+n[/math], mit [math]m,n\in\mathbb{R}[/math] [/*][*][i][u]quadratische Funktionen:[/u][/i]  [math]f:y=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math] mit [math]a,b,c\in\mathbb{R};a\ne0[/math] [br][/*][*][i][u]Polynome[/u][/i] :   Produkte aus beliebig vielen quadratischen und linearen Funktionstermen; diese Produktdarstellung kann stets durch ausmultiplizieren der Klammern in eine Summendarstellung umgewandelt werden: [math]p:y=a_n\cdot x^n+...+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math] mit den Koeffizienten [math]a_n,....a_1,a_0\in\mathbb{R};a_n\ne0[/math] [/*][*][u][i]Potenzfunktionen[/i][/u]: [math]f:y=a\cdot x^n[/math] mit [math]n\in\mathbb{Z}[/math] [/*][*][u][i]rationale Funktionen:[/i][/u] [math]q:y=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}[/math] , wobei p und q Polynome mit ganzzahlige Koeffizienten sind[/*][/list]

[justify][/justify]Wichtige Eigenschaften von Funktionen sind dabei [br][list][*]die Definitionsmenge[/*][*]die Wertemenge[/*][*]die Form des Graphen (z.B. gerade, gekrümmt, geöffnet nach oben oder unten, ...)[/*][*]der Verlauf des Graphen (steigend, fallend)[/*][*]Symmetrien (Achsensymmetrie, Punktsymmetrie)[/*][*]die relative Lage des Graphen in Bezug auf das Koordinatensystem (Schnittpunkte mit den Achsen, parallel oder senkrecht zu einer Achse)[/*][*]charakteristische Punkte auf dem Graphen (Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt, Symmetriepunkt)[/*][/list]Dabei haben die in den jeweiligen Funktionstermen vorkommenden Parameter einen wichtigen Einfluß auf die Funktionseigenschaften. Die systematische Untersuchung bezüglich solcher Eigenschaften bezeichnet man als [u][i]Kurvendiskussion[/i][/u].