[color=#6aa84f]Lernziele:[br][br][/color][math]\rightarrow[/math][color=#6aa84f] Graphen gebrochen-rationaler Funktionen erkennen und mit Fachbegriffen beschreiben[br][/color][math]\rightarrow[/math][color=#6aa84f] mithilfe von Wertetabellen Graphen gebrochen-rationaler Funktionen zeichnen[br][math]\rightarrow[/math] Asymptoten bestimmen[br][/color][math]\rightarrow[/math][color=#6aa84f] die Definitionsmenge gebrochen-rationaler Funktionen angeben[/color]

[br][br][b]Was ist eine gebrochen-rationale Funktion?[/b][br][br]Du kennst schon die [b]rationalen [/b]Zahlen [math]\mathbb{Q}[/math]. Diese enthalten alle [b]Zahlen, die als Bruch geschrieben werden[br]können[/b], also alle positiven und negativen ganzen Zahlen[math][/math][math]\mathbb{Z}[/math] und alle positiven und negativen Brüche. [br][br]Das „gebrochen-rational" bezieht sich also auf einen [b]Bruch im Funktionsterm[/b]. Doch dieser Bruch muss eine besondere Eigenschaft haben, damit man die Funktion „gebrochen-rational“ nennt.[br][br][br][b][i]Einstiegsaufgabe: [/i][/b][br][br][i]Nimm die Funktionsgleichungen unten in beliebiger Reihenfolge „unter die Lupe“ (d.h. ziehe sie auf die Lupe) und finde heraus, ob sie gebrochen-rational sind oder nicht, indem du noch einmal auf die Funktionsgleichung in der Lupe klickst. [/i][br][br][i]Findest du heraus, was die gebrochen-rationalen Funktionsterme im Gegensatz zu den anderen Funktionstypen gemeinsam haben? [/i][br]

[br][br]Nun fertigen wir einen [color=#0b5394][b]Hefteintrag[/b] [/color]an. Schreibe alles ab, was [color=#0b5394][b]blau [/b][/color]ist. [br][b][i]Fülle die Lücken[/i][/b] mit deinen Erkenntnissen und Beispielen aus der [b]Einstiegsaufgabe[/b].[br][br][br][color=#0b5394][b][u]III. Elementare gebrochen-rationale Funktionen[/u][/b][br][br][u]III.1 Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen[/u][br][br][br][b]Definition[/b]: Hat der Term einer Funktion eine Variable ________________________________, so nennt man die Funktion [u]gebrochen-rational[/u]. Einen solchen Term nennt man [u]Bruchterm[/u]. [br][br]z.B.: _____________________________________________________________________ [/color][color=#666666]([b][i]Hinweis[/i][/b][i]: Übernimm hier einfach 2-3 gebrochen-rationale Funktionen aus der Einstiegsaufgabe als Beispiele[/i])[/color][color=#0b5394][br][br]Zahlen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge, weil der Funktionsterm an dieser Stelle nicht definiert ist und ihnen kein Wert zugeordnet werden kann. Man nennt sie [/color][u][color=#1e84cc]Definitionslücken[/color][/u][color=#0b5394]. [/color]

[color=#6aa84f]Lernziele:[br][br][/color][color=#6aa84f][math]\rightarrow[/math] die "Normalhyperbel" mit ihren Eigenschaften definieren[br][/color][color=#6aa84f][math]\rightarrow[/math] die allgemeine Funktionsgleichung einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Parametern a, b und c [br] aufstellen[br][math]\rightarrow[/math][/color][color=#6aa84f][math][/math]die Auswirkungen von Veränderungen der Parameter auf die Lage und Streckung des Graphen [br] beschreiben [br][math]\rightarrow[/math] mithilfe der Parameter Graphen zu gegebenen Termen skizzieren[br][/color][color=#6aa84f][math]\rightarrow[/math] Funktionsterme elementarer gebrochen-rationaler Funktionen zu gegebenen Graphen aufstellen[/color]

Diesmal beginnen wir sofort mit dem [b][color=#1e84cc]Hefteintrag [/color][/b][i][color=#444444](bitte die Formeln, obwohl sie schwarz dargestellt werden, mit abschreiben! Die Farbe lässt sich nicht ändern!)[/color][/i]: [br][br][color=#1e84cc][u]III.2 Verschiebung von Hyperbeln[/u][br][br]Man kann den Graphen der Funktion [math]x[/math] [math]\mapsto[/math] [math]\frac{1}{x}[/math] als [u]Normalhyperbel[/u] bezeichnen. [br]Sie … [br][/color][math]\circ[/math][color=#1e84cc]  hat die Koordinatenachsen als Asymptoten, [br][br][/color][math]\circ[/math][color=#1e84cc]  ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung [br][br][/color][math]\circ[/math][color=#1e84cc]  ist achsensymmetrisch zu den Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen [br]und [br][/color][math]\circ[/math][color=#1e84cc]  verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1). [/color][br][br][i][color=#444444](Bild siehe unten; am besten an dieser Stelle auch ins Heft übernehmen!)[/color][/i][br][br][color=#1e84cc][u]Allgemein[/u] hat eine gebrochen-rationale Funktion jedoch die Form [br][br][/color][math]x[/math][math]\mapsto[/math][math]\frac{a}{x+b}+c[/math][color=#1e84cc] mit [/color][math]a\in\mathbb{Q}[/math][color=#1e84cc]\[/color][math][/math][color=#1e84cc]{0} und [/color][math]b[/math][color=#1e84cc], [/color][math]c\in\mathbb{Q}[/math][color=#1e84cc].[br][br]Hierbei bezeichnet man [/color][math]a[/math][color=#1e84cc], [/color][math]b[/math][color=#1e84cc] und [/color][math]c[/math][color=#1e84cc] als [u]Parameter[/u] (altgr. „Nebenmaß“) der Funktion. Sie bestimmen Lage und Streckung der Funktion im Vergleich zur Normalhyperbel. [/color]

[b][i]Aufgabe: [/i][/b][br][i]Verändere die Werte der Parameter mithilfe der Schieberegler und beobachte, wie sie sich auf den Verlauf des Graphen auswirken. Wie verändert sich der Graph im Vergleich zur Normalhyperbel? [/i][br][br][i]Fasse deine Beobachtungen auf dem Arbeitsblatt zusammen, zeichne die Graphen der angegebenen Funktionen farbig in die drei Koordinatensysteme und vergleiche anschließend mit der Lösung auf dem Tisch vorne beim Lehrerpult. [/i]

[b][i]Übung:[/i][/b] S. 66/4[br][i]Nutze zur Lösung einfach das obige GeoGebra-Applet! Falls das nicht gehen sollte, öffne den folgenden Link in einem neuen Tab: [/i][url=https://www.geogebra.org/graphing][color=#1e84cc]Grafikrechner[/color][/url] [i]und kopiere diesen Ausdruck ins Eingabefeld:[/i] f(x)=a/(x+b)+c

[b][i]Übung:[/i][/b] S. 66/8a - e[br][i]Gib zur Funktion die Gleichungen der waagrechten und senkrechten Asymptote an. Die Lösungen kannst du selbstständig kontrollieren.[br][/i][br]a) [math]f[/math] : [math]x[/math] [math]\mapsto[/math] [math]\frac{2}{x-2}-6[/math]

b) [math]f[/math] : [math]x[/math] [math]\mapsto[/math] [math]\frac{2,5}{2x}-4[/math]

c) [math]f[/math] : [math]\mapsto[/math] [math]\frac{1}{x-4}-3,5[/math]

d) [math]g[/math] : [math]x[/math] [math]\mapsto[/math] [math]\frac{2}{-1-x}-3[/math]

e) [math]g[/math] : [math]x[/math] [math]\mapsto[/math] [math]\frac{-2}{x+3}+10[/math]

[b][color=#38761d]NÜTZLICH[/color][/b]:[br][br]Versuche bei den Graphen unten einmal Folgendes: [br][br]1)    Suche den [u]Schnittpunkt der Asymptoten[/u]. [br][br]2)    Bewege dich von dort um [u]eine LE nach rechts[/u]. Wie viele LE musst du nun [u]nach oben[/u] gehen, um den [br] G[u]raphen [/u]zu erreichen? Notiere dir die Antwort für alle angegebenen Graphen neben dem [br] Funktionsterm. [br] (Musst du [u]nach unten[/u] gehen, notiere dir vor die Anzahl LE ein [u]Minus[/u].)[br][br]3)    Sieh dir deine Notizen an und vergleiche mit den Funktionstermen. Fällt dir ein Zusammenhang mit [br] einem der [u]Parameter[/u] auf? [br][br]Fasse deine Erkenntnis folgendermaßen in deinem [b][color=#1e84cc]Heft [/color][/b]zusammen: [br][br][color=#1e84cc][table][tr][td]Schnittpunkt der Asymptoten → 1 Schritt nach rechts ↑ _______ Schritte nach oben. [math][/math][color=#1e84cc][/color][/td][/tr][/table][/color]

[b][i]Übung:[/i][/b] S. 67/13a, b[br][i]Hierzu kannst du wieder den [url=https://www.geogebra.org/graphing]Grafikrechner[/url] mit Schiebereglern nutzen, indem du f(x)=a/(x+b)+c in das Eingabefeld kopierst oder eintippst. [br]Du kannst aber auch dein gesammeltes Wissen über gebrochen-rationale Funktionen und ihre Parameter nutzen, um dir einen Funktionsterm zusammenzubasteln. [/i]