A série geométrica é uma série da forma [math]\sum^{\infty}_{k=0}a^k[/math], onde [math]a\in\mathbb{R}[/math].[br][br]Na verdade a série poderia ser definida de uma forma mais geral, mas para fins ilustrativos consideraremos a forma definida acima.[br][br]No applet a seguir você pode escolher o valor de [math]a[/math] e variando o valor de [math]n[/math] verificar a interpretação geométrica e calcular algumas das somas parciais.[br][br]Depois de testar o applet responda as questões abaixo.

Utilizando o applet acima como ferramenta, responda as questões a seguir:[br][br][b]1.[/b] Escolha o valor de [math]a[/math] como [math]0.5[/math] e faça [math]n[/math] variar até o maior valor possível no applet.[br][br] [b]a)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da sequência [math]\left\{a^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]?[br][br] [b]b)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da série [math]\sum^{\infty}_{k=0}a^k[/math]?[br][br][b]2.[/b] Agora escolha [math]a=1[/math], e faça [math]n[/math] variar até o valor máximo.[br][br][b] a)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da sequência [math]\left\{a^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]?[br][br] [b]b)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da série ?[br][br][b]3.[/b] Agora escolha [math]a=-0.3[/math], e faça [math]n[/math] variar até o valor máximo.[br][br][b] a)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da sequência [math]\left\{a^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]?[br][br] [b]b)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da série [math]\sum_{k=0}^{\infty}a^k[/math]?[br][br][br][b]4.[/b] Agora escolha [math]a=-1[/math], e faça [math]n[/math] variar até o valor máximo.[br][br][b] a)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da sequência [math]\left\{a^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]?[br][br] [b]b)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da série [math]\sum^{\infty}_{k=0}a^k[/math]?[br][br][br][b]5.[/b] Agora escolha [math]a[/math] como sendo os três últimos dígitos do seu R.A. (registro acadêmico), e faça [math]n[/math] variar até o valor máximo.[br][br][b] a)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da sequência [math]\left\{a^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]?[br][br] [b]b)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da série [math]\sum^{\infty}_{k=0}a^k[/math]?[br][br][br][b]6.[/b] Agora escolha [math]a=-1.5[/math], e faça n variar até o valor máximo.[br][br][b] a)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da sequência [math]\left\{a^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]?[br][br] [b]b)[/b] O que você percebeu com relação à convergência da série [math]\sum^{\infty}_{k=0}a^k[/math]?[br][br][b]7.[/b] De acordo com tudo que você observou, determine para quais valores de [math]a[/math] a sequência [math]\left\{a^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math] e a série geométrica [math]\sum^{\infty}_{k=0}a^k[/math], convergem. Determine, também, a relação entre [math]\lim_{n\rightarrow\infty}a_n[/math] e a convergência da série geométrica.[br]