Temperaturmessungen beobachten
Stell dir vor, du möchtest an deinem Wohnort die Temperatur messen. Dazu stehst du um 8 Uhr morgens auf und schaust alle 60 Minuten auf das Außenthermometer und schreibst auf, wie viel Grad Celsius es anzeigt. Das machst du 12 Stunden lang, also bis 20 Uhr.[br]Dabei könnte dann [b]folgende Tabelle [/b]entstehen:
Diagramm
Veranschauliche die Daten durch ein deiner Meinung nach geeignetes Diagramm, welches den Temperaturverlauf übersichtlich darstellt.
Mein Diagramm
In obiger Tabelle sind also die zu verschiedenen Tageszeiten gemessenen Temperaturen angegeben.[br]Betrachtet man in verschiedenen Zeitintervallen, z.B. [8;12], [12;14] und [10;16], die Temperaturänderungen, so erhält man etwa für [8;12] folgenden Wert: [br][b][br][list][*][b][8;12]: 13 − 9 = 4[br][/b][/*][/list][/b][br]Wie werden die beiden anderen Werte für [b][12;14] und [10;16] [/b]ermittelt? Kreuze die [b]beiden[/b] richtigen Antworten an!
Was bedeutet in diesem Zusammenhang die Rechnung [b]"[8;12]: 13 - 9 = 4"[/b]?
Was wir bisher gemacht haben, bringt uns i.A. noch nicht besonders viel, wenn wir die Temperaturentwicklung beobachten möchten, da die unterschiedliche Länge der Zeitintervalle nicht berücksichtigt wurde. Soll die Temperaturänderung als Vergleichsmaß dienen, so muss sie auf ein in allen Fällen gleiches Zeitintervall, etwa auf eine Stunde, umgerechnet werden. Also z.B.:[br][br][b][list][*][b][8;12]: 12 − 8 = 4, 4 : 4 = 1[br][/b][/*][*][b][12;14]: 14 − 12 = 2, 4 : 2 = 2[br][/b][/*][*][b][10;16]: 16 − 10 = 6, 4 : 6 = 0,67 [/b][/*][/list][/b][br]Betrachten wir die Rechnung für das Intervall [b][8;12][/b] etwas genauer: Wir haben insgesamt [math]\frac{T\left(12\right)-T\left(8\right)}{12-8}=\frac{13-9}{12-8}=\frac{4}{4}=1[/math], wobei wir die Werte für [math]T(12)[/math] und [math]T(8)[/math] in obiger Temperaturtabelle abgelesen haben. Wir haben also die absolute Änderung der Temperatur ([math]T(12)-T(8)[/math]) durch die verstrichene Zeit ([math]12-8[/math]) im Zeitintervall [b][8;12][/b] berechnet.[br]Nun ist es möglich, die Änderung der Temperatur pro Stunde in den gegebenen Zeitintervallen anzugeben.
Diese Betrachtung führt uns im Allgemeinen zu einem ersten wichtigen Begriff der Differentialrechnung, der [b]mittleren Änderungsrate (Differenzenquotient)[/b]. Diese gibt die mittlere Änderung in einem Zeitintervall [a;b] an. Betrachtet man die Zuordnung der Temperatur zu einer bestimmten Zeit als reelle Funktion [math]f(x)[/math], so ist der Differenzenquotient definiert durch: [br][br][math]\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{\Delta f\left(x\right)}{\Delta x}[/math]
Dieser, sowie der Grenzwert des Differenzenquotienten (= Differentialquotient), wird in den nächsten Aktivitäten thematisiert.
Informationen
Dieses Beispiel dient der Motivation der Differentialrechnung anhand eines Alltagsbeispiels, das den Schüler*innen den Zugang erleichtern sollte.
Quelle bzw. Literatur
Hohenwarter, M. & Jauck, G. (2005). [i]Eine Einführung in die Differentialrechnung. Lernpfad[/i]. Abgerufen von [url=http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/index.htm]http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/index.htm[/url] (4.1.2021)