Führe die untenstehenden Schritte zum Beweis des Satz des Thales auf deinem Arbeitsblatt durch und vollziehe sie nach. Das GeoGebra-Applet hilft dir hierbei.
Ziel ist es, am Ende des Beweises die Gleichung [math]\gamma=90°[/math] aufzustellen. Wenn wir das schaffen, haben wir gezeigt, dass beim Satz des Thales immer ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert wird.
[size=150][size=100][b]1. Schritt:[/b] Zeichne eine Strecke zwischen [math]M[/math] und [math]C[/math].[/size][br][br][/size][b]2. Schritt: [/b]Markiere diejenigen Strecken im Dreieck, welche die gleichen Längen besitzen.[br]Beantworte mit diesen Hilfen die untenstehenden Fragen zum 2. Schritt.[br][br][b]3. Schritt:[/b] Bestimme die beiden Winkel, die am Punkt C neu entstanden sind.[br]Gibt es diese Winkel im Dreieck nocheinmal?[br][br][b]4. Schritt: [/b]Beantworte die untenstehenden Fragen zur Innenwinkelsumme, um so den Winkel [math]\gamma[/math] zu bestimmen.
[size=150][b]Beantworte [/b]die folgende Frage mithilfe des GeoGebra-Applets (oben).[br]Die Dreiecke [math]AMC[/math] und [math]BMC[/math] haben Gemeinsamkeiten. Es sind beides immer ...[/size]
[size=150][b]Begründe[/b] deine Antwort aus der vorigen Aufgabe ohne Zuhilfenahme des GeoGebra-Applets (oben).[/size][br][i]Tipp: Betrachte die Länge der Strecken [/i][math]\overline{AM}[/math][i], [/i][math]\overline{BM}[/math][i] und [/i][math]\overline{MC}[/math][i]. Was fällt dir auf?[/i]
Die Strecken [math]\overline{AM}[/math][i], [/i][math]\overline{BM}[/math][i] und [/i][math]\overline{MC}[/math][i] haben die gleiche Länge, nämlich den Radius des Halbkreises. [br]Wenn in einem Dreieck zwei Seiten gleich lang sind, ist es ein gleichschenkliges Dreieck. [br]Dies trifft folglich auf die beiden Dreiecke AMC und BMC zu.[br][/i]Es gilt [math]\gamma=\alpha+\beta[/math].
[size=150]Wir wissen nun, dass [math]\gamma=\alpha+\beta[/math] gilt. Es bleibt allerdings immer noch zu zeigen, dass dies wirklich immer ein rechter Winkel sein muss.[/size]
[size=150][b]Beantworte [/b]die folgende Frage.[br]Die Summe aller Innenwinkel in einem beliebigen Dreieck beträgt immer ...[/size]
[size=150][b]Beantworte [/b]die folgende Frage mithilfe des GeoGebra-Applets (unten).[br][/size][size=150]Die Summe aller Innenwinkel des Dreiecks [math]ABC[/math] ist ...[/size]
[size=150][b]Folgere[/b] mithilfe der Antworten aus Aufgabe 5 und 6 deine Behauptung.[br]Setze dazu die Formel und das Ergebnis zur Innenwinkelsumme gleich.[br]Prüfe, ob du [math]\gamma[/math] durch [math]\alpha[/math] und [math]\beta[/math] darstellen kannst.[/size]
Aus der Gleichung [math]2\cdot\left(\alpha+\beta\right)=180°[/math] folgt [math]\gamma=\alpha+\beta=90°[/math].[br]Wenn C auf dem Halbkreis liegt, dann bildet das Dreieck ABC immer ein rechtwinkliges Dreieck im Punkt C.
Der Beweis ist abgeschlossen, sobald du herausbekommen hast, dass [math]\gamma=90°[/math] ist. Das ist nämlich die Aussage, die wir beweisen wollten.