Attività 18 luglio
Table of Contents
- Retta negli Elementi di Euclide
- Euclide
- Dopo Euclide: il postulato di Archimede
- Retta sulla sfera
- Rette sulla sfera?
- Attività sfera
- Retta punteggiata
- Che cosa è la retta punteggiata?
- Animazione retta punteggiata
- Spoiler: che risorse usa GeoGebra per costruire la retta punteggiata?
- Retta e parametrizzazione
- Parametrizzazione
- Rette strane...
- Enti indefiniti e sistemi assiomatici
Euclide
Dal Libro I degli Elementi di Euclide
[b]Di seguito sono riportati i termini e i postulati introdotti da Euclide (circa 300 a.C.) per quanto riguarda la [i]linea retta[/i].[color=#1e84cc][br][br]TERMINI[br][/color][/b][br]1. [b]Punto [/b]è ciò che non ha parti.[br]2. [b]Linea [/b]è lunghezza senza larghezza.[br]3. [b]Estremi [/b]di una linea sono punti.[br]4.[b] Linea retta[/b] è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa (cioè, ai suoi punti).[br]...[br]13. [b]Termine [/b]è ciò che è estremo di qualche cosa.[br]14. [b]Figura [/b]è ciò che è compreso tra uno o più termini.[br][br][br][b][color=#1e84cc]POSTULATI/RICHIESTE (i primi 2)[/color][/b][br][br]1. Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da qualsiasi punto ad ogni altro punto. [br]2. E che una retta terminata (finita, limitata) si possa prolungare continuamente in linea retta.[br][br][size=85]Abbiamo fatto riferimento alla formulazione in Frajese, A. & Maccioni, L. (1970). [i]Gli Elementi di Euclide.[/i] Tipografia Torinese.[/size]
Postulato 1
[size=100][size=150][b]Nella schermata GeoGebra che segue, usando gli strumenti a disposizione, realizzate la costruzione corrispondente al Postulato 1.[/b][/size][/size]
Postulato 2
[size=100][size=150][b]Nella schermata GeoGebra che segue sono state realizzate tre diverse costruzioni. Esploratele trascinando i vari punti e rispondete alle domande.[/b][/size][/size]
Secondo voi, la COSTRUZIONE 1 soddisfa il postulato 2 di Euclide? Perché?
Secondo voi, la COSTRUZIONE 2 soddisfa il postulato 2 di Euclide? Perché?
Secondo voi, la COSTRUZIONE 3 soddisfa il postulato 2 di Euclide? Perché?
Rette sulla sfera?
Abbiamo esplorato alcune concezioni di retta, fra cui quella formulata da Euclide, che è stata successivamente integrata dal postulato di Archimede che abbiamo discusso. Cosa accade se ci spostiamo sulla sfera? Riusciamo a parlare di retta? E come?[br]Parlatene e scrivete qui tutte le vostre osservazioni.
Che cosa è la retta punteggiata?
Definizione di retta punteggiata
Le due pagine che seguono sono le prime del testo [i]Lezioni di geometria analitica e proiettiva [/i]di Guido Castelnuovo (1904).[br]Le parti evidenziate sono quelle su cui concentrarsi per capire la definizione di retta punteggiata. [br]Leggetele con attenzione: come va le state immaginando? Come la disegnereste? Come la descrivereste a qualcun altro a parole vostre?
Parametrizzazione
Lo slider [math]t[/math] rappresenta una variabile. Facendo variare il valore di [math]t[/math], varia la posizione del punto [math]P[/math]. In particolare, le coordinate del punto [math]P[/math] possono essere scritte [i]in funzione [/i]del parametro [math]t[/math] nel seguente modo: [math]P(t,2t+3)[/math].
Possiamo esprimere il legame fra [math]t[/math] e la curva descritta dal punto [math]P[/math] attraverso la seguente funzione:[br][math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2[/math] con [math]f\left(t\right):=\left(t,2t+3\right)[/math].[br][br]Sotto alcune ipotesi "avanzate", questa funzione rappresenta una [i]parametrizzazione[/i] della curva, nel nostro caso della retta di equazione [math]y=2x+3[/math]. Questa parametrizzazione ci permette di esprimere le variabili (nel nostro caso [math]x[/math] e [math]y[/math]) in funzione di un unico parametro (che qui corrisponde a [math]t[/math]).[br]La retta può essere vista, quindi, come immagine della parametrizzazione che abbiamo definito e per ogni valore di [math]t[/math] otteniamo la posizione di [math]P[/math].
Enti indefiniti e sistemi assiomatici
Assiomi di incidenza e parallelismo
[b]INFORMAZIONI TEORICHE[/b][br]I punti e le rette sono oggetti indefiniti. Semplicemente postuliamo un insieme, i cui elementi vengono chiamati [i]punti[/i], con certi suoi sottoinsiemi, che chiamiamo [i]rette[/i]. [br]Aggiungiamo anche la seguente:[br][br][b]Definizione:[/b] due rette distinte sono [i]parallele [/i]se non hanno punti in comune. Diciamo anche che ogni retta è parallela a sè stessa. [br][br]Quindi: non sappiamo cosa sono i punti né sappiamo quali sottoinsiemi formano le rette ma richiediamo che questi oggetti indefiniti obbediscano a certi assiomi (abbiamo quindi un [i]sistema assiomatico). [/i][br][br]Nel nostro sistema assiomatico, gli assiomi che ci interessano sono i quattro seguenti che riguardano i punti, le rette e le loro intersezioni:[br][list][*](I1) Per ogni coppia di punti distinti A, B, esiste un'unica retta [i][i]r[/i][/i] che contiene A, B. [/*][*](I2) Ogni retta contiene almeno due punti.[/*][*](I3) Esistono tre punti non allineati (cioè, esistono tre punti non tutti contenuti in una retta.[/*][*](P) Per ogni punto A e per ogni retta [i][i]r[/i][/i], c'è al massimo una retta che contiene A ed è parallela ad [i]r[/i].[/*][/list][br]Un [i]modello [/i]di un sistema assiomatico è la realizzazione dei termini non definiti in qualche particolare contesto, in modo che tutti gli assiomi siano soddisfatti.
[b][color=#1e84cc]Daremo di seguito tre diversi contesti: possono essere modelli del nostro sistema assiomatico?[/color][/b][br][br](Attenzione! Per affermare che un certo contesto è un modello di un sistema assiomatico, bisogna verificare la validità di tutti gli assiomi scelti...)
Contesto 1: tre punti
In questo primo contesto, prendiamo:[br][list][*]come PUNTI, l'insieme con questi tre elementi P={A, B, C}[/*][*]come RETTE i seguenti tre sottoinsiemi di punti: {A, B}, {B, C}, {A, C}[br][/*][/list][br]Affermiamo che questo contesto è un modello per il nostro sistema assiomatico. [br]Perché?[br]Verificate la validità dei quattro assiomi.
Contesto 2: cinque punti
In questo secondo contesto, prendiamo:[br][list][*]come PUNTI, l'insieme con questi cinque elementi P={A, B, C, D, E}[/*][*]come RETTE tutti i sottoinsiemi da due punti.[br][/*][/list][br]Questo secondo contesto NON è un modello per il nostro sistema assiomatico.[br]Perché? Quale assioma non è soddisfatto?
Contesto 3: Il piano cartesiano reale
In questo terzo contesto, prendiamo:[br][list][*]come PUNTI l'insieme delle coppie ordinate [math]$(x,y)$[/math] con [math]$x$[/math] e [math]$y$[/math] numeri reali;[/*][*]come RETTE i sottoinsiemi di punti [math]$P=(x,y)$[/math] che soddisfano l'equazione lineare [math]$ax+by+c=0$ [/math] nelle incognite [math]$x$[/math] e [math]$y$.[/math][br][/*][/list][br]Il piano cartesiano reale è un modello per il nostro sistema assiomatico?[br]Se vi è utile, potete usare la seguente schermata GeoGebra.
[size=85]Attività ispirata a Hartshorne, R. (2000). Geometry: [i]Euclid and beyond[/i]. Springer. p. da 66 - 67.[/size]